Номер 1.100, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.100. Изобразите фигуру, ограниченную графиком функции $y=f(x)$, прямыми $x=a$, $x=b$ и осью абсцисс, и вычислите ее площадь:

1) $y = \frac{1}{x^2}, a = 1, b = 2;$

2) $y = \frac{1}{\cos^2 x}, a = 0, b = \frac{\pi}{4};$

3) $xy = 4, a = 1, b = 4;$

4) $y = 4 - x^2;$

1) Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, снизу — осью абсцисс, а по бокам — прямыми $x=1$ и $x=2$. На отрезке $[1, 2]$ функция положительна, поэтому площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x)$ по этому отрезку.

$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx = \int_{1}^{2} x^{-2} dx$

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = [-\frac{x^{-1}}{1}]_{1}^{2} = [-\frac{1}{x}]_{1}^{2} = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{\cos^2 x}$, прямыми $x=0$, $x=\frac{\pi}{4}$ и осью абсцисс. На отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$ косинус не равен нулю, и функция $y = \frac{1}{\cos^2 x}$ положительна. Площадь вычисляется с помощью интеграла.

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$

Первообразная для функции $\frac{1}{\cos^2 x}$ — это $\tan x$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0) = 1 - 0 = 1$

Ответ: $\text{1}$.

3) Уравнение $xy=4$ задает функцию $y = \frac{4}{x}$. Фигура ограничена графиком этой функции (ветвь гиперболы в первой четверти), прямыми $x=1$, $x=4$ и осью абсцисс. На отрезке $[1, 4]$ функция $y > 0$.

Вычисляем площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{4} \frac{4}{x} dx = 4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} dx$

Первообразная для $\frac{1}{x}$ — это $\ln|x|$.

$S = 4 [\ln|x|]_{1}^{4} = 4(\ln 4 - \ln 1) = 4(\ln 4 - 0) = 4 \ln 4$

Ответ: $4 \ln 4$.

4) В этом случае пределы интегрирования $\text{a}$ и $\text{b}$ не заданы. Это означает, что нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 4 - x^2$ и осью абсцисс. Сначала найдем точки пересечения графика с осью $\text{x}$, решив уравнение $y=0$:

$4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$.

Таким образом, интегрирование будет производиться по отрезку $[-2, 2]$. На этом отрезке график функции $y = 4 - x^2$ (парабола, ветви которой направлены вниз) расположен выше оси абсцисс.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$

Поскольку подынтегральная функция $f(x) = 4 - x^2$ является четной ($f(-x) = f(x)$), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx = 2 [4x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} = 2 \left( (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (4 \cdot 0 - \frac{0^3}{3}) \right) = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24-8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$.