Номер 1.107, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.107*. Вычислите интеграл $\int_{-1}^{4} f(x)dx$ , если

$f(x) = \begin{cases} x+1, & -1 \le x < 0, \\ x, & 0 \le x < 2, \\ 3, & 2 \le x \le 4. \end{cases}$

Для вычисления определенного интеграла от кусочно-заданной функции необходимо разбить его на сумму интегралов по каждому из интервалов, где функция задана одной формулой. Это следует из свойства аддитивности определенного интеграла.

Интервал интегрирования от -1 до 4 разбивается точками 0 и 2 на три подынтервала: $[-1, 0)$, $[0, 2)$ и $[2, 4]$.

Таким образом, исходный интеграл можно представить в виде суммы трех интегралов:

$\int_{-1}^{4} f(x)dx = \int_{-1}^{0} f(x)dx + \int_{0}^{2} f(x)dx + \int_{2}^{4} f(x)dx$

Подставим соответствующие выражения для функции $f(x)$ на каждом из интервалов:

$\int_{-1}^{4} f(x)dx = \int_{-1}^{0} (x+1)dx + \int_{0}^{2} x dx + \int_{2}^{4} 3 dx$

Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} g(x)dx = G(b) - G(a)$, где $G(x)$ - первообразная для $g(x)$.

1. Вычисление первого интеграла на интервале $[-1, 0)$:

$\int_{-1}^{0} (x+1)dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{0} = \left(\frac{0^2}{2} + 0\right) - \left(\frac{(-1)^2}{2} + (-1)\right) = 0 - \left(\frac{1}{2} - 1\right) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

2. Вычисление второго интеграла на интервале $[0, 2)$:

$\int_{0}^{2} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2$

3. Вычисление третьего интеграла на интервале $[2, 4]$:

$\int_{2}^{4} 3 dx = \left[ 3x \right]_{2}^{4} = 3 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 12 - 6 = 6$

Наконец, сложим полученные значения, чтобы найти итоговое значение интеграла:

$\int_{-1}^{4} f(x)dx = \frac{1}{2} + 2 + 6 = 8.5$

Ответ: $8.5$