Номер 1.113, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.113. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $y = \text{tg}x$, $y = \text{ctg}x$, $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо сначала определить, как эти линии ограничивают фигуру. Фигура ограничена снизу осью абсцисс $y=0$, а сверху — графиками функций $y=\mathrm{tg}x$ и $y=\mathrm{ctg}x$ на интервале $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$.

Найдем точку пересечения графиков функций $y=\mathrm{tg}x$ и $y=\mathrm{ctg}x$.

$\mathrm{tg}x = \mathrm{ctg}x$

$\mathrm{tg}^2x = 1$

На интервале $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ тангенс неотрицателен, поэтому $\mathrm{tg}x = 1$. Отсюда следует, что точка пересечения имеет абсциссу $x = \frac{\pi}{4}$.

Теперь проанализируем, какой из графиков является верхней границей фигуры на разных участках.

• На отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$ выполняется неравенство $\mathrm{tg}x \le \mathrm{ctg}x$. Фигура ограничена снизу линией $y=0$ и сверху линией $y=\mathrm{tg}x$.
• На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $\mathrm{ctg}x \le \mathrm{tg}x$. Фигура ограничена снизу линией $y=0$ и сверху линией $y=\mathrm{ctg}x$.

Таким образом, искомая площадь $\text{S}$ является суммой площадей двух криволинейных трапеций и вычисляется как сумма двух определенных интегралов:

$S = \int_{0}^{\pi/4} \mathrm{tg}x \,dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \mathrm{ctg}x \,dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности.

Первый интеграл:

$\int \mathrm{tg}x \,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \,dx = -\int \frac{d(\cos x)}{\cos x} = -\ln|\cos x|$

$\int_{0}^{\pi/4} \mathrm{tg}x \,dx = [-\ln|\cos x|]_{0}^{\pi/4} = (-\ln|\cos(\frac{\pi}{4})|) - (-\ln|\cos(0)|) = -\ln(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \ln(1) = -\ln(2^{-1/2}) + 0 = \frac{1}{2}\ln 2$.

Второй интеграл:

$\int \mathrm{ctg}x \,dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} \,dx = \int \frac{d(\sin x)}{\sin x} = \ln|\sin x|$

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \mathrm{ctg}x \,dx = [\ln|\sin x|]_{\pi/4}^{\pi/2} = \ln|\sin(\frac{\pi}{2})| - \ln|\sin(\frac{\pi}{4})| = \ln(1) - \ln(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0 - \ln(2^{-1/2}) = \frac{1}{2}\ln 2$.

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти общую площадь:

$S = \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2}\ln 2 = \ln 2$.

Ответ: $\ln 2$