Номер 1.118, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.118. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1.

Все двузначные числа, которые при делении на 3 дают в остатке 1, образуют арифметическую прогрессию. Общая формула для таких чисел — $a = 3k + 1$, где $\text{k}$ — целое число.

Найдем первый член этой прогрессии ($a_1$), который является двузначным числом. Наименьшее двузначное число — 10. Проверим его: $10 = 3 \cdot 3 + 1$. Условие выполняется, значит, $a_1 = 10$.

Найдем последний член прогрессии ($a_n$), который является двузначным числом. Наибольшее двузначное число — 99. Найдем ближайшее к 99 число, удовлетворяющее условию. $99 = 3 \cdot 33$ (остаток 0). $98 = 3 \cdot 32 + 2$ (остаток 2). $97 = 3 \cdot 32 + 1$ (остаток 1). Следовательно, $a_n = 97$.

Мы получили арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 10$, последним членом $a_n = 97$ и разностью $d = 3$.

Для нахождения суммы прогрессии сперва определим количество ее членов ($\text{n}$) по формуле $\text{n}$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения:

$97 = 10 + (n-1) \cdot 3$

$87 = (n-1) \cdot 3$

$n-1 = \frac{87}{3}$

$n-1 = 29$

$n = 30$

Итак, в нашей последовательности 30 чисел.

Теперь найдем сумму всех этих чисел, используя формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$.

$S_{30} = \frac{(10 + 97) \cdot 30}{2} = \frac{107 \cdot 30}{2} = 107 \cdot 15 = 1605$.

Ответ: 1605