Вопросы, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулу для вычисления пути, пройденного материальной точкой, двигавшейся прямолинейно со скоростью $v = v(t), t \in [t_1; t_2]$.

2. Объясните, чему равно значение площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, описывающей зависимость скорости от времени.

3. Выведите формулу объема шара.

4. Напишите формулу вычисления объема тела с помощью определенного интеграла.

5. Какое тело называют телом вращения?

6. По какой формуле находят объем тела вращения?

7. Как найти работу переменной силы $F = F(x), x \in [a; b]$?

1. Путь, пройденный материальной точкой, двигавшейся прямолинейно со скоростью $v = v(t)$ за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, вычисляется по формуле определенного интеграла от модуля скорости. Скорость — это векторная величина, а путь — это длина траектории. Поэтому для вычисления пути нужно интегрировать скалярную величину, то есть модуль скорости (скорость как таковую).

Ответ: $S = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| \,dt$.

2. Значение площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции скорости $v=v(t)$ (при $v(t) \ge 0$), осью времени $Ot$ и прямыми $t=t_1$ и $t=t_2$, соответствует определенному интегралу $\int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$. Как известно из физического смысла интеграла, это значение численно равно пути, пройденному материальной точкой за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$.

Ответ: Площадь указанной криволинейной трапеции численно равна пути, пройденному телом за соответствующий промежуток времени.

3. Формулу объема шара можно вывести, представив шар как тело вращения. Шар радиуса $\text{R}$ с центром в начале координат можно получить вращением криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ (полуокружность) на отрезке $[-R, R]$, вокруг оси $Ox$.

Объем тела вращения вокруг оси $Ox$ находится по формуле $V = \pi \int_a^b y^2 dx$.

В нашем случае $y^2 = (\sqrt{R^2 - x^2})^2 = R^2 - x^2$, а пределы интегрирования $a = -R$ и $b = R$.

Подставляем в формулу:

$V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2) \,dx$

Поскольку подынтегральная функция $f(x) = R^2 - x^2$ является четной, ее интеграл по симметричному промежутку $[-R, R]$ равен удвоенному интегралу по промежутку $[0, R]$:

$V = 2\pi \int_{0}^{R} (R^2 - x^2) \,dx$

Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$V = 2\pi \left[ R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_0^R = 2\pi \left( (R^2 \cdot R - \frac{R^3}{3}) - (0) \right) = 2\pi \left( R^3 - \frac{R^3}{3} \right) = 2\pi \left( \frac{2R^3}{3} \right) = \frac{4}{3}\pi R^3$

Ответ: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

4. Объем тела можно вычислить с помощью определенного интеграла, если известна зависимость площади его поперечного сечения от положения на некоторой оси. Если тело расположено вдоль оси $Ox$ на отрезке $[a, b]$, и площадь его сечения плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$ в точке $\text{x}$, равна $S(x)$, то объем тела $\text{V}$ вычисляется как интеграл от площади сечения.

Ответ: $V = \int_a^b S(x) \,dx$.

5. Телом вращения называется объемное тело, образованное вращением плоской фигуры вокруг прямой (оси вращения), лежащей в той же плоскости, что и сама фигура. При этом вращаемая фигура не пересекает ось вращения.

Ответ: Тело вращения — это тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры.

6. Объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ ($f(x) \ge 0$), осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, находят по формуле метода дисков. Объем представляется как сумма объемов бесконечно тонких дисков радиусом $y=f(x)$ и толщиной $dx$.

Ответ: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \,dx$.

7. Работа $\text{A}$, совершаемая переменной силой $F = F(x)$, направленной вдоль оси $Ox$, при перемещении материальной точки вдоль этой оси из положения $x=a$ в положение $x=b$, вычисляется как определенный интеграл от функции силы по координате перемещения.

Ответ: $A = \int_a^b F(x) \,dx$.