Номер 1.126, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.126. Применяя формулу $V = \pi \int_a^b f^2(x)dx$, вычислите объемы тел вращения, изображенных на рис. 1.48, 1.49:

Рис. 1.48

Рис. 1.49

Рис. 1.48

Тело вращения, изображенное на рис. 1.48, образовано вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиком функции $y = x$ и прямыми $x=1$ и $x=4$. Для вычисления объема этого тела воспользуемся формулой объема тела вращения:

$V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x)dx$

В данном случае функция $f(x) = x$, а пределы интегрирования $a=1$ и $b=4$.

Подставляем наши данные в формулу:

$V = \pi \int_{1}^{4} (x)^2 dx = \pi \int_{1}^{4} x^2 dx$

Вычисляем интеграл:

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4} = \pi \left( \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \right) = \pi \left( \frac{63}{3} \right) = 21\pi$

Ответ: $V = 21\pi$

Рис. 1.49

Тело вращения, изображенное на рис. 1.49, образовано вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^2$ и прямыми $x=0$ и $x=5$.

Используем ту же формулу для объема тела вращения:

$V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x)dx$

Здесь функция $f(x) = x^2$, а пределы интегрирования $a=0$ и $b=5$.

Подставляем данные в формулу:

$V = \pi \int_{0}^{5} (x^2)^2 dx = \pi \int_{0}^{5} x^4 dx$

Вычисляем интеграл:

$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{5} = \pi \left( \frac{5^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = \pi (5^4 - 0) = 625\pi$

Ответ: $V = 625\pi$