Номер 1.121, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.121. Найдите путь, пройденный материальной точкой за время $\text{t}$, если скорость движения точки задана функцией $v(t)$:

1) $v(t) = t - 3$, $t = 3$;

2) $v(t) = 3t + 5$, $t = 5$;

3) $v(t) = t^2 + 4t - 1$, $t = 3$;

4) $v(t) = 3t^2 - 2t + 4$, $t = 2$.

1) v(t) = t - 3, t = 3;

Путь $\text{S}$, пройденный материальной точкой, вычисляется как интеграл от модуля (абсолютной величины) скорости по времени от начального момента $t=0$ до конечного момента, указанного в условии. В данном случае, $t=3$.

Формула для пути: $S = \int_{0}^{3} |v(t)| dt = \int_{0}^{3} |t - 3| dt$.

Для вычисления интеграла необходимо определить знак выражения под модулем на интервале интегрирования $[0, 3]$.

При $t \in [0, 3]$, выражение $t - 3$ является неположительным, то есть $t - 3 \le 0$. Следовательно, $|t - 3| = -(t - 3) = 3 - t$ на этом интервале.

Теперь мы можем вычислить определенный интеграл:

$S = \int_{0}^{3} (3 - t) dt = [3t - \frac{t^2}{2}]_{0}^{3}$

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

$S = (3 \cdot 3 - \frac{3^2}{2}) - (3 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}) = (9 - \frac{9}{2}) - 0 = \frac{18 - 9}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5

2) v(t) = 3t + 5, t = 5;

Путь $\text{S}$ за время $t=5$ находится по формуле:

$S = \int_{0}^{5} |v(t)| dt = \int_{0}^{5} |3t + 5| dt$

Проанализируем знак функции скорости $v(t) = 3t + 5$ на интервале $[0, 5]$.

Так как $t \ge 0$, то $3t \ge 0$, и следовательно $3t + 5 \ge 5$. Это означает, что скорость на всем интервале $[0, 5]$ положительна.

Поэтому, $|3t + 5| = 3t + 5$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{0}^{5} (3t + 5) dt = [\frac{3t^2}{2} + 5t]_{0}^{5}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = (\frac{3 \cdot 5^2}{2} + 5 \cdot 5) - (\frac{3 \cdot 0^2}{2} + 5 \cdot 0) = (\frac{3 \cdot 25}{2} + 25) - 0 = \frac{75}{2} + 25 = \frac{75 + 50}{2} = \frac{125}{2} = 62.5$

Ответ: 62.5

3) v(t) = t² + 4t - 1, t = 3;

Путь $\text{S}$ за время $t=3$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{3} |v(t)| dt = \int_{0}^{3} |t^2 + 4t - 1| dt$

Найдем корни уравнения $t^2 + 4t - 1 = 0$, чтобы определить, где скорость меняет знак. Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$

Один корень $t_1 = -2 - \sqrt{5}$ отрицательный и не входит в интервал $[0, 3]$. Другой корень $t_2 = \sqrt{5} - 2$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $0 < \sqrt{5} - 2 < 1$. Этот корень находится внутри интервала интегрирования.

Парабола $y = t^2 + 4t - 1$ с ветвями вверх, поэтому функция отрицательна между корнями. На интервале $[0, 3]$ функция $v(t)$ отрицательна при $t \in [0, \sqrt{5}-2)$ и неотрицательна при $t \in [\sqrt{5}-2, 3]$.

Следовательно, интеграл нужно разбить на две части:

$S = \int_{0}^{\sqrt{5}-2} -(t^2 + 4t - 1) dt + \int_{\sqrt{5}-2}^{3} (t^2 + 4t - 1) dt$

Первообразная для $v(t)$ есть $P(t) = \frac{t^3}{3} + 2t^2 - t$.

Вычисление можно упростить, используя свойство $S = |P(\sqrt{5}-2) - P(0)| + |P(3) - P(\sqrt{5}-2)| = - (P(\sqrt{5}-2) - P(0)) + (P(3) - P(\sqrt{5}-2)) = P(3) + P(0) - 2P(\sqrt{5}-2)$.

$P(0) = 0$

$P(3) = \frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 = 9 + 18 - 3 = 24$

$P(\sqrt{5}-2) = \frac{(\sqrt{5}-2)^3}{3} + 2(\sqrt{5}-2)^2 - (\sqrt{5}-2)$

$(\sqrt{5}-2)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$

$(\sqrt{5}-2)^3 = (\sqrt{5}-2)(9 - 4\sqrt{5}) = 9\sqrt{5} - 20 - 18 + 8\sqrt{5} = 17\sqrt{5} - 38$

$P(\sqrt{5}-2) = \frac{17\sqrt{5} - 38}{3} + 2(9 - 4\sqrt{5}) - (\sqrt{5} - 2) = \frac{17\sqrt{5} - 38}{3} + 18 - 8\sqrt{5} - \sqrt{5} + 2 = \frac{17\sqrt{5} - 38 + 60 - 27\sqrt{5}}{3} = \frac{22 - 10\sqrt{5}}{3}$

Теперь находим путь $\text{S}$:

$S = 24 + 0 - 2(\frac{22 - 10\sqrt{5}}{3}) = 24 - \frac{44 - 20\sqrt{5}}{3} = \frac{72 - 44 + 20\sqrt{5}}{3} = \frac{28 + 20\sqrt{5}}{3}$

Ответ: $\frac{28 + 20\sqrt{5}}{3}$

4) v(t) = 3t² - 2t + 4, t = 2.

Путь $\text{S}$ за время $t=2$ находится по формуле:

$S = \int_{0}^{2} |v(t)| dt = \int_{0}^{2} |3t^2 - 2t + 4| dt$

Рассмотрим знак квадратичной функции $v(t) = 3t^2 - 2t + 4$. Найдем ее дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 4 - 48 = -44$

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=3 > 0$, то парабола полностью лежит выше оси абсцисс, и, следовательно, функция $v(t)$ всегда положительна.

Поэтому $|3t^2 - 2t + 4| = 3t^2 - 2t + 4$ для всех $\text{t}$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{0}^{2} (3t^2 - 2t + 4) dt = [t^3 - t^2 + 4t]_{0}^{2}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = (2^3 - 2^2 + 4 \cdot 2) - (0^3 - 0^2 + 4 \cdot 0) = (8 - 4 + 8) - 0 = 12$

Ответ: 12