Номер 1.123, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.123. Скорость движения материального тела задана функцией $v(t) = 1 - 2t$ м/с. Найдите путь, пройденный телом за первую секунду, и расстояние, на которое оно удалилось от начальной точки.

Задача состоит из двух частей: найти путь, пройденный телом, и найти его перемещение (расстояние от начальной точки) за первую секунду движения. Скорость задана функцией $v(t) = 1 - 2t$. Первая секунда соответствует интервалу времени от $t=0$ до $t=1$.

Путь, пройденный телом за первую секунду

Путь $\text{S}$ — это интеграл от модуля скорости (скорости по модулю) по времени.

$S = \int_{0}^{1} |v(t)| dt = \int_{0}^{1} |1 - 2t| dt$

Чтобы раскрыть модуль, нужно определить, на каких интервалах выражение $1 - 2t$ положительно, а на каких — отрицательно. Найдем, когда скорость равна нулю:

$v(t) = 1 - 2t = 0 \implies 2t = 1 \implies t = 0.5$ с.

Это означает, что в момент времени $t = 0.5$ с тело останавливается и меняет направление движения.

• При $t \in [0, 0.5)$, $1 - 2t > 0$, поэтому $|1 - 2t| = 1 - 2t$.
• При $t \in (0.5, 1]$, $1 - 2t < 0$, поэтому $|1 - 2t| = -(1 - 2t) = 2t - 1$.

Теперь разобьем интеграл на две части:

$S = \int_{0}^{0.5} (1 - 2t) dt + \int_{0.5}^{1} (2t - 1) dt$

Вычислим каждый интеграл:

$\int_{0}^{0.5} (1 - 2t) dt = \left[t - t^2\right]_{0}^{0.5} = (0.5 - 0.5^2) - (0 - 0^2) = 0.5 - 0.25 = 0.25$ м.

$\int_{0.5}^{1} (2t - 1) dt = \left[t^2 - t\right]_{0.5}^{1} = (1^2 - 1) - (0.5^2 - 0.5) = (1 - 1) - (0.25 - 0.5) = 0 - (-0.25) = 0.25$ м.

Суммарный путь равен сумме путей на двух участках:

$S = 0.25 + 0.25 = 0.5$ м.

Ответ: 0.5 м.

Расстояние, на которое оно удалилось от начальной точки

Расстояние от начальной точки — это модуль перемещения тела. Перемещение $\Delta x$ — это интеграл от скорости по времени. Если считать, что в начальный момент времени $t=0$ тело находилось в точке $x(0)=0$, то его координата в момент времени $t=1$ и будет равна перемещению.

$\Delta x = x(1) - x(0) = \int_{0}^{1} v(t) dt = \int_{0}^{1} (1 - 2t) dt$

Вычислим этот интеграл:

$\Delta x = \left[t - t^2\right]_{0}^{1} = (1 - 1^2) - (0 - 0^2) = (1 - 1) - 0 = 0$ м.

Перемещение равно нулю. Это означает, что тело в момент времени $t=1$ с вернулось в свою начальную точку. Соответственно, расстояние от начальной точки равно $|\Delta x| = |0| = 0$ м.

Ответ: 0 м.