Номер 1.127, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.127. Найдите объемы тел, полученных вращением вокруг оси Ох криволинейных трапеций, изображенных на рис 1.50 а, б, в:

Рис. 1.50 а $y = \frac{x}{2} + 4$

Рис. 1.50 б $y = x^2 + 3$

Рис. 1.50 в $x^2 + y^2 = 64$

а) Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вокруг оси $Ox$, вычисляется по формуле $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.

Для фигуры на рис. 1.50 а, функция $y = f(x) = \frac{x}{2} + 4$, а пределы интегрирования от $a=0$ до $b=6$.

Подставляем данные в формулу:

$V = \pi \int_0^6 \left(\frac{x}{2} + 4\right)^2 dx$

Раскроем квадрат под знаком интеграла:

$\left(\frac{x}{2} + 4\right)^2 = \frac{x^2}{4} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 4 + 16 = \frac{x^2}{4} + 4x + 16$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$V = \pi \int_0^6 \left(\frac{x^2}{4} + 4x + 16\right) dx = \pi \left[ \frac{x^3}{4 \cdot 3} + \frac{4x^2}{2} + 16x \right]_0^6 = \pi \left[ \frac{x^3}{12} + 2x^2 + 16x \right]_0^6$

Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left( \left(\frac{6^3}{12} + 2 \cdot 6^2 + 16 \cdot 6\right) - \left(\frac{0^3}{12} + 2 \cdot 0^2 + 16 \cdot 0\right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{216}{12} + 2 \cdot 36 + 96 - 0 \right) = \pi(18 + 72 + 96) = 186\pi$

Ответ: $186\pi$

б) Для фигуры на рис. 1.50 б, функция $y = f(x) = x^2 + 3$, а пределы интегрирования от $a=1$ до $b=2$.

Подставляем данные в формулу для объема тела вращения:

$V = \pi \int_1^2 (x^2 + 3)^2 dx$

Раскроем квадрат под знаком интеграла:

$(x^2 + 3)^2 = x^4 + 6x^2 + 9$

Вычислим определенный интеграл:

$V = \pi \int_1^2 (x^4 + 6x^2 + 9) dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{6x^3}{3} + 9x \right]_1^2 = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + 2x^3 + 9x \right]_1^2$

Подставляем пределы интегрирования:

$V = \pi \left( \left(\frac{2^5}{5} + 2 \cdot 2^3 + 9 \cdot 2\right) - \left(\frac{1^5}{5} + 2 \cdot 1^3 + 9 \cdot 1\right) \right)$

$V = \pi \left( \left(\frac{32}{5} + 16 + 18\right) - \left(\frac{1}{5} + 2 + 9\right) \right) = \pi \left( \frac{32}{5} + 34 - \frac{1}{5} - 11 \right)$

$V = \pi \left( \frac{31}{5} + 23 \right) = \pi \left( \frac{31+115}{5} \right) = \frac{146\pi}{5}$

Ответ: $\frac{146\pi}{5}$

в) Для фигуры на рис. 1.50 в, криволинейная трапеция ограничена кривой $x^2 + y^2 = 64$. Для вычисления объема тела вращения используем $y^2 = 64 - x^2$.

Пределы интегрирования от $a=5$ до $b=8$.

Подставляем в формулу для объема тела вращения $V = \pi \int_a^b y^2 dx$:

$V = \pi \int_5^8 (64 - x^2) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$V = \pi \left[ 64x - \frac{x^3}{3} \right]_5^8$

Подставляем пределы интегрирования:

$V = \pi \left( \left(64 \cdot 8 - \frac{8^3}{3}\right) - \left(64 \cdot 5 - \frac{5^3}{3}\right) \right)$

$V = \pi \left( \left(512 - \frac{512}{3}\right) - \left(320 - \frac{125}{3}\right) \right)$

$V = \pi \left( 512 - 320 - \frac{512}{3} + \frac{125}{3} \right) = \pi \left( 192 - \frac{387}{3} \right)$

Так как $387 / 3 = 129$, получаем:

$V = \pi (192 - 129) = 63\pi$

Ответ: $63\pi$