Номер 1.128, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.128. Изобразите тело, полученное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, и вычислите его объем:

1) $y = 2x, 0 \leq x \leq 3$;

2) $y = x^3, 1 \leq x \leq 2$;

3) $y = x^2, 2 \leq x \leq 4$;

4) $y = \sqrt{x}, 0 \leq x \leq 4$.

Общая формула для вычисления объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой $y = f(x)$, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$, вокруг оси Ox, имеет вид:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

1)

Дана криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = 2x$ на отрезке $[0, 3]$. Тело, полученное вращением этой трапеции вокруг оси Ox, представляет собой прямой круговой конус.

Вычислим его объем:

$V = \pi \int_{0}^{3} (2x)^2 dx = \pi \int_{0}^{3} 4x^2 dx = 4\pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = 4\pi \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 4\pi \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = 4\pi \cdot 9 = 36\pi$.

Ответ: $36\pi$.

2)

Дана криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = x^3$ на отрезке $[1, 2]$. Тело, полученное вращением, является усеченным телом вращения кубической параболы.

Вычислим его объем:

$V = \pi \int_{1}^{2} (x^3)^2 dx = \pi \int_{1}^{2} x^6 dx = \pi \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{1}^{2} = \pi \left( \frac{2^7}{7} - \frac{1^7}{7} \right) = \pi \left( \frac{128}{7} - \frac{1}{7} \right) = \frac{127\pi}{7}$.

Ответ: $\frac{127\pi}{7}$.

3)

Дана криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = x^2$ на отрезке $[2, 4]$. Тело, полученное вращением, является усеченным параболоидом вращения.

Вычислим его объем:

$V = \pi \int_{2}^{4} (x^2)^2 dx = \pi \int_{2}^{4} x^4 dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{2}^{4} = \pi \left( \frac{4^5}{5} - \frac{2^5}{5} \right) = \pi \left( \frac{1024}{5} - \frac{32}{5} \right) = \frac{992\pi}{5}$.

Ответ: $\frac{992\pi}{5}$.

4)

Дана криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \sqrt{x}$ на отрезке $[0, 4]$. Тело, полученное вращением, является параболоидом вращения.

Вычислим его объем:

$V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{4} x dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi$.

Ответ: $8\pi$.