Номер 1.129, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.129. Изобразите тело, полученное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, и вычислите его объем:

1) $y = \sin x$, $0 \le x \le \pi$;

2) $y = x$, $0 \le x \le 2$;

3) $y = x$, $1 \le x \le 2$;

4) $y = \sqrt{x}$, $2 \le x \le 3$.

1) Криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \sin x$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=\pi$, при вращении вокруг оси $Ox$ образует тело вращения, по форме напоминающее лимон. Объем этого тела вычисляется по формуле $V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx$.

Подставим наши значения:

$V = \pi \int_{0}^{\pi} (\sin x)^2 dx$

Для вычисления интеграла используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:

$V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2x)) dx$

Находим первообразную и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} \left( (\pi - \frac{1}{2}\sin(2\pi)) - (0 - \frac{1}{2}\sin(0)) \right)$

Так как $\sin(2\pi) = 0$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$V = \frac{\pi}{2} (\pi - 0) = \frac{\pi^2}{2}$

Ответ: $\frac{\pi^2}{2}$

2) Фигура, ограниченная графиком функции $y=x$, осью $Ox$ и прямой $x=2$ (представляет собой прямоугольный треугольник), при вращении вокруг оси $Ox$ образует конус. Радиус основания конуса $R = y(2) = 2$, а высота $H = 2$.

Вычислим объем тела вращения с помощью интеграла:

$V = \pi \int_{0}^{2} x^2 dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$

Подставляем пределы интегрирования:

$V = \pi \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{8}{3} - 0 \right) = \frac{8\pi}{3}$

Ответ: $\frac{8\pi}{3}$

3) Фигура, ограниченная графиком функции $y=x$, осью $Ox$ и прямыми $x=1$, $x=2$ (представляет собой прямоугольную трапецию), при вращении вокруг оси $Ox$ образует усеченный конус. Радиусы оснований этого конуса $r = y(1) = 1$ и $R = y(2) = 2$, а высота $h = 2-1 = 1$.

Вычисляем объем:

$V = \pi \int_{1}^{2} x^2 dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2}$

Подставляем пределы интегрирования:

$V = \pi \left( \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{7\pi}{3}$

Ответ: $\frac{7\pi}{3}$

4) Криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью $Ox$ и прямыми $x=2$, $x=3$, при вращении вокруг оси $Ox$ образует тело вращения, являющееся частью параболоида.

Вычисляем объем этого тела:

$V = \pi \int_{2}^{3} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{2}^{3} x dx$

Находим интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3} = \pi \left( \frac{3^2}{2} - \frac{2^2}{2} \right)$

$V = \pi \left( \frac{9}{2} - \frac{4}{2} \right) = \pi \left( \frac{5}{2} \right) = \frac{5\pi}{2}$

Ответ: $\frac{5\pi}{2}$