Номер 1.133, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Прикладная задача

1.133. Велосипедист, начав движение, в течение первых 3 мин развил скорость до 40 км/ч. Затем, следующие 10 мин, он ехал с постоянной скоростью. Устав, велосипедист в течение 1 мин снизил скорость до 30 км/ч и сохранял эту скорость следующие 10 мин. Затем он уменьшал скорость в течение 2 мин до полной остановки. Постройте график зависимости скорости от времени и вычислите расстояние, пройденное велосипедистом.

Постройте график зависимости скорости от времени

Для построения графика зависимости скорости $\text{v}$ от времени $\text{t}$ разобьем движение на пять участков. По оси абсцисс отложим время $\text{t}$ в минутах, а по оси ординат — скорость $\text{v}$ в км/ч. Движение начинается в момент времени $t=0$ со скоростью $v=0$.

1. Участок 1 (0-3 мин): Велосипедист равноускоренно разгоняется от 0 до 40 км/ч. На графике это будет прямая линия, соединяющая точки $(0, 0)$ и $(3, 40)$.

2. Участок 2 (3-13 мин): Велосипедист движется с постоянной скоростью 40 км/ч в течение 10 мин. На графике это горизонтальная линия, соединяющая точки $(3, 40)$ и $(13, 40)$.

3. Участок 3 (13-14 мин): Велосипедист равнозамедленно снижает скорость с 40 км/ч до 30 км/ч в течение 1 мин. На графике это прямая линия, соединяющая точки $(13, 40)$ и $(14, 30)$.

4. Участок 4 (14-24 мин): Велосипедист движется с постоянной скоростью 30 км/ч в течение 10 мин. На графике это горизонтальная линия, соединяющая точки $(14, 30)$ и $(24, 30)$.

5. Участок 5 (24-26 мин): Велосипедист равнозамедленно снижает скорость с 30 км/ч до 0 в течение 2 мин. На графике это прямая линия, соединяющая точки $(24, 30)$ и $(26, 0)$.

Ответ: График представляет собой ломаную линию, проходящую через точки с координатами $(t \text{ [мин]}, v \text{ [км/ч]})$: $(0, 0) \rightarrow (3, 40) \rightarrow (13, 40) \rightarrow (14, 30) \rightarrow (24, 30) \rightarrow (26, 0)$.

Вычислите расстояние, пройденное велосипедистом

Расстояние, пройденное велосипедистом, численно равно площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени $v(t)$. Для вычисления площади необходимо перевести временные интервалы в часы, чтобы они соответствовали единицам измерения скорости (км/ч).

Общее расстояние $\text{S}$ равно сумме площадей фигур, соответствующих каждому участку движения: $S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5$.

1. Участок 1: Движение в течение 3 мин. Фигура — прямоугольный треугольник.

Время: $\Delta t_1 = 3 \text{ мин} = \frac{3}{60} \text{ ч} = 0.05 \text{ ч}$.

Скорость изменяется от 0 до 40 км/ч.

Площадь (расстояние): $S_1 = \frac{1}{2} \times \Delta t_1 \times v_{max} = \frac{1}{2} \times 0.05 \text{ ч} \times 40 \text{ км/ч} = 1 \text{ км}$.

2. Участок 2: Движение в течение 10 мин. Фигура — прямоугольник.

Время: $\Delta t_2 = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$.

Скорость постоянна и равна 40 км/ч.

Площадь (расстояние): $S_2 = \Delta t_2 \times v = \frac{1}{6} \text{ ч} \times 40 \text{ км/ч} = \frac{40}{6} \text{ км} = \frac{20}{3} \text{ км}$.

3. Участок 3: Движение в течение 1 мин. Фигура — трапеция.

Время: $\Delta t_3 = 1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч}$.

Скорость снижается с $v_1 = 40$ км/ч до $v_2 = 30$ км/ч.

Площадь (расстояние): $S_3 = \frac{v_1 + v_2}{2} \times \Delta t_3 = \frac{40 + 30}{2} \times \frac{1}{60} = \frac{70}{2} \times \frac{1}{60} = \frac{35}{60} \text{ км} = \frac{7}{12} \text{ км}$.

4. Участок 4: Движение в течение 10 мин. Фигура — прямоугольник.

Время: $\Delta t_4 = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$.

Скорость постоянна и равна 30 км/ч.

Площадь (расстояние): $S_4 = \Delta t_4 \times v = \frac{1}{6} \text{ ч} \times 30 \text{ км/ч} = 5 \text{ км}$.

5. Участок 5: Движение в течение 2 мин. Фигура — прямоугольный треугольник.

Время: $\Delta t_5 = 2 \text{ мин} = \frac{2}{60} \text{ ч} = \frac{1}{30} \text{ ч}$.

Скорость снижается с 30 км/ч до 0.

Площадь (расстояние): $S_5 = \frac{1}{2} \times \Delta t_5 \times v_{start} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{30} \text{ ч} \times 30 \text{ км/ч} = 0.5 \text{ км} = \frac{1}{2} \text{ км}$.

Теперь сложим все расстояния, чтобы найти общее:

$S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = 1 + \frac{20}{3} + \frac{7}{12} + 5 + \frac{1}{2}$

Приведем все дроби к общему знаменателю 12:

$S = \frac{12}{12} + \frac{80}{12} + \frac{7}{12} + \frac{60}{12} + \frac{6}{12} = \frac{12 + 80 + 7 + 60 + 6}{12} = \frac{165}{12} \text{ км}$

Сократим дробь на 3:

$S = \frac{55}{4} \text{ км} = 13.75 \text{ км}$.

Ответ: $13.75$ км.