Номер 1.136, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.136. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг Ox фигуры, ограниченной заданными линиями:

1) $y = x + 1, y = 1, x = 2;$

2) $y + x = 2, y = x, x = 0;$

3) $y = \frac{x^2}{2}, y = x;$

4) $y = 2\sqrt{x}, y = x.$

Объем тела, полученного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной линиями $y = f(x)$ и $y = g(x)$ (где $f(x) \ge g(x) \ge 0$) на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_a^b (f(x)^2 - g(x)^2) dx$

1) Фигура ограничена линиями $y = x + 1$, $y = 1$ и $x = 2$. Сначала найдем пределы интегрирования. Линии $y = x + 1$ и $y = 1$ пересекаются при $x + 1 = 1$, что дает $x = 0$. Таким образом, интегрирование будет производиться от $a = 0$ до $b = 2$.

На отрезке $[0, 2]$ верхняя граница фигуры — это линия $f(x) = x + 1$, а нижняя — $g(x) = 1$. Обе функции неотрицательны на этом отрезке.

Подставляем эти данные в формулу для объема:

$V = \pi \int_0^2 ((x + 1)^2 - 1^2) dx$

Раскроем скобки и упростим подынтегральное выражение:

$V = \pi \int_0^2 (x^2 + 2x + 1 - 1) dx = \pi \int_0^2 (x^2 + 2x) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_0^2 = \pi \left( \left(\frac{2^3}{3} + 2^2\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 0^2\right) \right) = \pi \left( \frac{8}{3} + 4 \right) = \pi \left( \frac{8 + 12}{3} \right) = \frac{20\pi}{3}$

Ответ: $\frac{20\pi}{3}$.

2) Фигура ограничена линиями $y + x = 2$ (или $y = 2 - x$), $y = x$ и $x = 0$. Найдем точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования. Линии $y = 2 - x$ и $y = x$ пересекаются, когда $2 - x = x$, что дает $2x = 2$, или $x = 1$. Таким образом, фигура заключена между $x=0$ и $x=1$.

На отрезке $[0, 1]$ сравним значения функций. Например, при $x = 0.5$, $y = 2 - 0.5 = 1.5$ и $y = 0.5$. Значит, $f(x) = 2 - x$ является верхней границей, а $g(x) = x$ — нижней. Обе функции неотрицательны.

Вычислим объем тела вращения:

$V = \pi \int_0^1 ((2 - x)^2 - x^2) dx$

Упростим выражение под интегралом:

$V = \pi \int_0^1 ((4 - 4x + x^2) - x^2) dx = \pi \int_0^1 (4 - 4x) dx$

Вычислим интеграл:

$V = \pi \left[ 4x - 2x^2 \right]_0^1 = \pi ((4(1) - 2(1)^2) - (4(0) - 2(0)^2)) = \pi (4 - 2) = 2\pi$

Ответ: $2\pi$.

3) Фигура ограничена линиями $y = \frac{x^2}{2}$ и $y = x$. Найдем точки пересечения: $\frac{x^2}{2} = x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0$. Отсюда $x = 0$ и $x = 2$. Это наши пределы интегрирования, $a=0$ и $b=2$.

На отрезке $[0, 2]$ сравним функции. При $x = 1$, $y = x = 1$ и $y = \frac{1^2}{2} = 0.5$. Следовательно, $f(x) = x$ — верхняя граница, а $g(x) = \frac{x^2}{2}$ — нижняя.

Вычисляем объем:

$V = \pi \int_0^2 \left( x^2 - \left(\frac{x^2}{2}\right)^2 \right) dx = \pi \int_0^2 \left( x^2 - \frac{x^4}{4} \right) dx$

Интегрируем:

$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{20} \right]_0^2 = \pi \left( \left(\frac{2^3}{3} - \frac{2^5}{20}\right) - 0 \right) = \pi \left( \frac{8}{3} - \frac{32}{20} \right) = \pi \left( \frac{8}{3} - \frac{8}{5} \right)$

Приводим к общему знаменателю:

$V = \pi \left( \frac{40 - 24}{15} \right) = \frac{16\pi}{15}$

Ответ: $\frac{16\pi}{15}$.

4) Фигура ограничена линиями $y = 2\sqrt{x}$ и $y = x$. Найдем точки пересечения: $2\sqrt{x} = x$. Возведем обе части в квадрат: $4x = x^2 \implies x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0$. Корни $x = 0$ и $x = 4$ являются пределами интегрирования.

На отрезке $[0, 4]$ определим верхнюю и нижнюю границы. При $x = 1$, $y = 2\sqrt{1} = 2$ и $y = 1$. Значит, $f(x) = 2\sqrt{x}$ — верхняя граница, $g(x) = x$ — нижняя.

Вычисляем объем:

$V = \pi \int_0^4 \left( (2\sqrt{x})^2 - x^2 \right) dx = \pi \int_0^4 (4x - x^2) dx$

Интегрируем:

$V = \pi \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = \pi \left( \left(2(4)^2 - \frac{4^3}{3}\right) - 0 \right) = \pi \left( 32 - \frac{64}{3} \right)$

Приводим к общему знаменателю:

$V = \pi \left( \frac{96 - 64}{3} \right) = \frac{32\pi}{3}$

Ответ: $\frac{32\pi}{3}$.