Номер 1.142, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.142. Дана функция, описывающая зависимость скорости материального тела от времени: $v(t) = \cos(t)$ м/с. Докажите, что материальное тело движется только между двумя точками. Найдите расстояние между этими точками.

Для решения задачи необходимо найти закон движения тела, то есть зависимость его координаты $\text{x}$ от времени $\text{t}$. Координата является первообразной (интегралом) от скорости $v(t)$.

Зависимость координаты от времени $x(t)$ определяется выражением:

$x(t) = \int v(t) dt = \int \cos(t) dt = \sin(t) + C$

Здесь $\text{C}$ — константа интегрирования, которая зависит от начального положения тела (положения в момент $t=0$). Таким образом, положение тела в любой момент времени $\text{t}$ описывается функцией $x(t) = \sin(t) + C$.

Докажите, что материальное тело движется только между двумя точками

Функция положения тела $x(t) = \sin(t) + C$ включает в себя тригонометрическую функцию $\sin(t)$. Область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого значения времени $\text{t}$ справедливо неравенство:

$-1 \le \sin(t) \le 1$

Чтобы найти диапазон возможных положений тела, прибавим константу $\text{C}$ ко всем частям этого неравенства:

$C - 1 \le \sin(t) + C \le C + 1$

Заменив среднюю часть на $x(t)$, получаем:

$C - 1 \le x(t) \le C + 1$

Это неравенство показывает, что координата тела $x(t)$ всегда находится в пределах от $x_{min} = C - 1$ до $x_{max} = C + 1$. Следовательно, движение тела ограничено этими двумя крайними точками, и оно не может выйти за пределы отрезка $[C-1, C+1]$. Это доказывает, что тело движется только между двумя точками.

Ответ: Закон движения тела $x(t) = \sin(t) + C$. Так как функция $\sin(t)$ ограничена и её значения лежат в отрезке $[-1, 1]$, то значения координаты тела $x(t)$ всегда принадлежат отрезку $[C-1, C+1]$. Это доказывает, что тело движется только между двумя крайними точками этого отрезка.

Найдите расстояние между этими точками

Как было установлено выше, тело совершает движение между двумя крайними точками, координаты которых:

• Минимальная координата: $x_{min} = C - 1$
• Максимальная координата: $x_{max} = C + 1$

Расстояние $\text{d}$ между этими точками равно модулю разности их координат:

$d = |x_{max} - x_{min}| = |(C + 1) - (C - 1)|$

Упростим выражение в скобках:

$d = |C + 1 - C + 1| = |2| = 2$

Таким образом, расстояние между крайними точками движения не зависит от начального положения (константы $\text{C}$) и является постоянной величиной. Единицы измерения расстояния соответствуют единицам измерения, получаемым из скорости (м/с) и времени (с), то есть метры.

Ответ: 2 м.