Номер 1.144, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.144. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделайте соответствующий чертеж.

1) $y = 3\sin x$, $y = \sin x$, $0 \le x \le \pi$;

2) $y = 5\cos x$, $y = \cos x$, $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$;

3) $y = 2x - x^2$, $y = 2 - x$;

4) $y = x^2$, $y^2 = x$.

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ (где $f(x) \ge g(x) \ge 0$) на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)^2 - g(x)^2] dx$

1) Фигура ограничена линиями $y = 3\sin x$, $y = \sin x$ на отрезке $0 \le x \le \pi$.

На данном отрезке $\sin x \ge 0$, поэтому $3\sin x \ge \sin x \ge 0$. Таким образом, $f(x) = 3\sin x$ и $g(x) = \sin x$. Пределы интегрирования: $a=0$, $b=\pi$.

Вычисляем объем:

$V = \pi \int_{0}^{\pi} [(3\sin x)^2 - (\sin x)^2] dx = \pi \int_{0}^{\pi} (9\sin^2 x - \sin^2 x) dx = 8\pi \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx$

Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:

$V = 8\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = 4\pi \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2x)) dx$

$V = 4\pi \left[ x - \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{0}^{\pi} = 4\pi \left( (\pi - \frac{\sin(2\pi)}{2}) - (0 - \frac{\sin(0)}{2}) \right) = 4\pi (\pi - 0) = 4\pi^2$

Чертеж: Фигура представляет собой область в верхней полуплоскости, ограниченную сверху синусоидой $y=3\sin x$ и снизу синусоидой $y=\sin x$ на отрезке $[0, \pi]$. Обе кривые выходят из точки (0,0), достигают максимума при $x=\pi/2$ и возвращаются на ось Ox в точке $(\pi, 0)$.

Ответ: $4\pi^2$

2) Фигура ограничена линиями $y = 5\cos x$, $y = \cos x$ на отрезке $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$.

На данном отрезке $\cos x \ge 0$, поэтому $5\cos x \ge \cos x \ge 0$. Таким образом, $f(x) = 5\cos x$ и $g(x) = \cos x$. Пределы интегрирования: $a=-\pi/2$, $b=\pi/2$.

Вычисляем объем:

$V = \pi \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [(5\cos x)^2 - (\cos x)^2] dx = \pi \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (25\cos^2 x - \cos^2 x) dx = 24\pi \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 x dx$

Подынтегральная функция является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, поэтому:

$V = 24\pi \cdot 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 x dx = 48\pi \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 x dx$

Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:

$V = 48\pi \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2x)}{2} dx = 24\pi \int_{0}^{\pi/2} (1 + \cos(2x)) dx$

$V = 24\pi \left[ x + \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{0}^{\pi/2} = 24\pi \left( (\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(\pi)}{2}) - (0 + \frac{\sin(0)}{2}) \right) = 24\pi \cdot \frac{\pi}{2} = 12\pi^2$

Чертеж: Фигура представляет собой область в верхней полуплоскости, симметричную относительно оси Oy. Она ограничена сверху косинусоидой $y=5\cos x$ и снизу косинусоидой $y=\cos x$ на отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$.

Ответ: $12\pi^2$

3) Фигура ограничена линиями $y = 2x - x^2$ и $y = 2 - x$.

Найдем точки пересечения графиков, чтобы определить пределы интегрирования:

$2x - x^2 = 2 - x \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0$

Точки пересечения: $x=1$ и $x=2$. Пределы интегрирования: $a=1$, $b=2$.

На отрезке $[1, 2]$ проверим, какая функция больше. Возьмем точку $x=1.5$:

$y_1 = 2(1.5) - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75$

$y_2 = 2 - 1.5 = 0.5$

Так как $0.75 > 0.5$, то $2x - x^2 \ge 2 - x$ на $[1, 2]$. Обе функции неотрицательны на этом отрезке.

Вычисляем объем:

$V = \pi \int_{1}^{2} [(2x - x^2)^2 - (2 - x)^2] dx$

$V = \pi \int_{1}^{2} (4x^2 - 4x^3 + x^4 - (4 - 4x + x^2)) dx = \pi \int_{1}^{2} (x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 4x - 4) dx$

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - x^4 + x^3 + 2x^2 - 4x \right]_{1}^{2}$

$V = \pi \left( (\frac{32}{5} - 16 + 8 + 8 - 8) - (\frac{1}{5} - 1 + 1 + 2 - 4) \right)$

$V = \pi \left( (\frac{32}{5} - 8) - (\frac{1}{5} - 2) \right) = \pi \left( \frac{32-40}{5} - \frac{1-10}{5} \right) = \pi \left( -\frac{8}{5} - (-\frac{9}{5}) \right) = \pi \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{\pi}{5}$

Чертеж: Фигура ограничена параболой $y=2x-x^2$ (ветви вниз, вершина в точке (1,1)) и прямой $y=2-x$. Область представляет собой сегмент между параболой (сверху) и прямой (снизу) на отрезке от $x=1$ до $x=2$.

Ответ: $\frac{\pi}{5}$

4) Фигура ограничена линиями $y = x^2$ и $y^2 = x$.

Вторую линию можно записать как $y = \sqrt{x}$ (для $y \ge 0$). Найдем точки пересечения:

$x^2 = \sqrt{x} \implies x^4 = x \implies x^4 - x = 0 \implies x(x^3 - 1) = 0$

Действительные корни: $x=0$ и $x=1$. Пределы интегрирования: $a=0$, $b=1$.

На отрезке $[0, 1]$ для любой точки $\text{x}$ (кроме концов отрезка) выполняется неравенство $\sqrt{x} > x^2$. Например, при $x=0.25$, $\sqrt{0.25}=0.5$, а $0.25^2=0.0625$. Таким образом, $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = x^2$.

Вычисляем объем:

$V = \pi \int_{0}^{1} [(\sqrt{x})^2 - (x^2)^2] dx = \pi \int_{0}^{1} (x - x^4) dx$

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \pi \left( (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) - (0 - 0) \right) = \pi (\frac{5-2}{10}) = \frac{3\pi}{10}$

Чертеж: Фигура ограничена кривой $y=\sqrt{x}$ (сверху) и параболой $y=x^2$ (снизу). Кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1), образуя в первом квадранте область, похожую на линзу.

Ответ: $\frac{3\pi}{10}$