Номер 1.143, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.143. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy дуги кривой $y = \sqrt{4-x^2}$, расположенной выше оси Ox.

Заданная кривая $y = \sqrt{4 - x^2}$ при условии, что она расположена выше оси Ox (то есть $y \ge 0$), представляет собой верхнюю половину окружности.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы определить параметры окружности: $y^2 = 4 - x^2$ $x^2 + y^2 = 4$ Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, дуга кривой, о которой идет речь, — это верхняя полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат. Эта дуга пересекает ось Ox в точках $x = -2$ и $x = 2$.

Задача состоит в том, чтобы найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy области, ограниченной этой полуокружностью и осью Ox. Эта область представляет собой полудиск радиуса 2.

Способ 1: Геометрический

При вращении полудиска вокруг его оси симметрии (в данном случае, ось Oy является осью симметрии для области, ограниченной кривой $y = \sqrt{4-x^2}$ и осью Ox) образуется сплошной шар. Радиус этого шара равен радиусу исходной окружности, то есть $R = 2$.

Объем шара вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставляем значение радиуса $R=2$: $V = \frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32\pi}{3}$

Способ 2: С помощью интеграла (метод цилиндрических оболочек)

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной кривой $y = f(x)$, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле: $V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx$

В нашем случае $f(x) = \sqrt{4-x^2}$, а область расположена на отрезке $x \in [-2, 2]$. Поскольку функция $x \sqrt{4-x^2}$ является нечетной, прямой интеграл от -2 до 2 даст ноль. Однако объем не может быть нулевым. Формула предполагает, что радиус оболочки равен $\text{x}$, что верно для $x \ge 0$. Для $x < 0$ радиус равен $|x| = -x$. Поэтому интеграл следует записать как $V = 2\pi \int_{-2}^{2} |x| \sqrt{4-x^2} dx$.

Учитывая симметрию фигуры относительно оси Oy, мы можем вычислить объем для правой половины ($x \in [0, 2]$) и удвоить результат.

$V = 2 \times \left( 2\pi \int_{0}^{2} x \sqrt{4-x^2} dx \right) = 4\pi \int_{0}^{2} x \sqrt{4-x^2} dx$

Для вычисления интеграла используем замену переменной. Пусть $t = 4-x^2$. Тогда $dt = -2x dx$, откуда $x dx = -\frac{1}{2} dt$.

Найдем новые пределы интегрирования: - при $x = 0$, $t = 4 - 0^2 = 4$ - при $x = 2$, $t = 4 - 2^2 = 0$

Подставляем в интеграл: $V = 4\pi \int_{4}^{0} \sqrt{t} \left(-\frac{1}{2} dt\right) = -2\pi \int_{4}^{0} t^{1/2} dt$

Поменяем пределы интегрирования, изменив знак перед интегралом: $V = 2\pi \int_{0}^{4} t^{1/2} dt = 2\pi \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} = 2\pi \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{0}^{4}$

$V = \frac{4\pi}{3} \left[ t\sqrt{t} \right]_{0}^{4} = \frac{4\pi}{3} (4\sqrt{4} - 0) = \frac{4\pi}{3} (4 \cdot 2) = \frac{4\pi}{3} \cdot 8 = \frac{32\pi}{3}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $V = \frac{32\pi}{3}$.