Номер 1.146, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.146. Найдите объем усеченного конуса, радиусы оснований которого равны $\text{R}$ и $\text{r}$, а высота равна $\text{H}$.

Объем усеченного конуса можно найти, представив его как разность объемов двух полных конусов. Пусть усеченный конус получен из большого конуса (с радиусом основания $\text{R}$ и высотой $h_1$) путем удаления меньшего конуса (с радиусом основания $\text{r}$ и высотой $h_2$), имеющего общую с ним вершину. Высота самого усеченного конуса равна $\text{H}$.

Объем большого конуса равен $V_1 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1$.

Объем малого конуса равен $V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 h_2$.

Объем усеченного конуса $\text{V}$ равен их разности: $V = V_1 - V_2 = \frac{1}{3}\pi (R^2 h_1 - r^2 h_2)$.

Высота усеченного конуса $\text{H}$ связана с высотами полного и отсеченного конусов соотношением: $H = h_1 - h_2$, откуда $h_1 = H + h_2$.

Рассмотрим осевое сечение конусов. Оно состоит из двух подобных прямоугольных треугольников с катетами $(h_1, R)$ и $(h_2, r)$. Из подобия треугольников следует пропорция:

$\frac{h_1}{R} = \frac{h_2}{r}$

Подставим в эту пропорцию выражение для $h_1$:

$\frac{H + h_2}{R} = \frac{h_2}{r}$

$r(H + h_2) = R h_2$

$rH + rh_2 = Rh_2$

$rH = Rh_2 - rh_2 = h_2(R - r)$

Отсюда выразим высоту малого конуса $h_2$ через известные величины:

$h_2 = \frac{rH}{R - r}$

Теперь найдем высоту большого конуса $h_1$:

$h_1 = H + h_2 = H + \frac{rH}{R - r} = \frac{H(R - r) + rH}{R - r} = \frac{HR - Hr + rH}{R - r} = \frac{HR}{R - r}$

Подставим полученные выражения для $h_1$ и $h_2$ в формулу для объема $\text{V}$:

$V = \frac{1}{3}\pi \left( R^2 \left( \frac{HR}{R - r} \right) - r^2 \left( \frac{rH}{R - r} \right) \right)$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}\pi H \frac{1}{R - r}$ за скобки:

$V = \frac{1}{3}\pi H \frac{R^3 - r^3}{R - r}$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$V = \frac{1}{3}\pi H \frac{(R - r)(R^2 + Rr + r^2)}{R - r}$

Сократив дробь на $(R - r)$, получим окончательную формулу для объема усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2)$.