Номер 1.152, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.152. В геометрической прогрессии $q = \frac{1}{2}$, $b_n = 2$, $S_n = 254$. Найдите первый член прогрессии и $\text{n}$.

В данной задаче по геометрической прогрессии нам известны знаменатель $q = \frac{1}{2}$, n-й член $b_n = 2$ и сумма первых n членов $S_n = 254$. Необходимо найти первый член прогрессии $b_1$ и число членов $\text{n}$.

Нахождение первого члена прогрессии

Для нахождения $b_1$ можно использовать формулу суммы первых n членов, которая связывает сумму, первый и n-й члены прогрессии: $S_n = \frac{b_1 - b_n q}{1 - q}$.

Подставим в эту формулу известные нам значения:

$S_n = 254$, $b_n = 2$, $q = \frac{1}{2}$.

$254 = \frac{b_1 - 2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}$

Упростим выражение в числителе и знаменателе дроби:

$254 = \frac{b_1 - 1}{\frac{1}{2}}$

Теперь решим это уравнение относительно $b_1$:

$254 \cdot \frac{1}{2} = b_1 - 1$

$127 = b_1 - 1$

$b_1 = 127 + 1 = 128$

Ответ: Первый член прогрессии $b_1 = 128$.

Нахождение n

Теперь, когда мы знаем первый член $b_1 = 128$, мы можем найти $\text{n}$ с помощью формулы n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим известные значения:

$b_n = 2$, $b_1 = 128$, $q = \frac{1}{2}$.

$2 = 128 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 128, чтобы выразить степень:

$\frac{2}{128} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

$\frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Чтобы решить это уравнение, представим $\frac{1}{64}$ как степень с основанием $\frac{1}{2}$. Так как $64 = 2^6$, то $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = (\frac{1}{2})^6$.

Теперь уравнение выглядит так:

$(\frac{1}{2})^6 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$6 = n - 1$

$n = 6 + 1 = 7$

Ответ: Число членов прогрессии $n = 7$.