Номер 1.154, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.154. Найдите все решения уравнения $\sqrt{3}\text{tg}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 1$, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi]$.

Сначала решим данное тригонометрическое уравнение.

Исходное уравнение: $ \sqrt{3}\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 1 $

Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{3} $: $ \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \operatorname{tg}(A) = a $, общее решение которого $ A = \operatorname{arctg}(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ A = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} $ и $ a = \frac{1}{\sqrt{3}} $. Значение арктангенса $ \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} $.

Подставим значения и получим: $ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь выразим $ x $. Сначала перенесем $ \frac{\pi}{4} $ в правую часть уравнения: $ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi k $

Приведем дроби к общему знаменателю 12: $ \frac{x}{2} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + \pi k $ $ \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{12} + \pi k $

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти $ x $: $ x = 2 \cdot \left(\frac{5\pi}{12} + \pi k\right) $ $ x = \frac{10\pi}{12} + 2\pi k $ $ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $ Это общее решение уравнения.

Далее необходимо найти все решения, принадлежащие отрезку $ [-\pi; \pi] $. Для этого решим двойное неравенство относительно $ k $: $ -\pi \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le \pi $

Разделим все части неравенства на $ \pi $ (так как $ \pi > 0 $, знаки неравенства не меняются): $ -1 \le \frac{5}{6} + 2k \le 1 $

Вычтем $ \frac{5}{6} $ из всех частей неравенства: $ -1 - \frac{5}{6} \le 2k \le 1 - \frac{5}{6} $ $ -\frac{6}{6} - \frac{5}{6} \le 2k \le \frac{6}{6} - \frac{5}{6} $ $ -\frac{11}{6} \le 2k \le \frac{1}{6} $

Разделим все части неравенства на 2: $ -\frac{11}{12} \le k \le \frac{1}{12} $

Поскольку $ k $ должно быть целым числом ($ k \in \mathbb{Z} $), единственное целое значение, удовлетворяющее этому неравенству, — это $ k=0 $.

Найдем соответствующее значение $ x $, подставив $ k=0 $ в формулу общего решения: $ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{5\pi}{6} $

Этот корень принадлежит отрезку $ [-\pi; \pi] $, так как $ -\pi < \frac{5\pi}{6} < \pi $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{6} $