Номер 2.2, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.2. В течение 13 дней учитель вел записи о количестве учеников, не посещавших занятия. Были получены следующие результаты: 4 6 3 2 7 8 3 5 5 7 6 6 4. Найдите выборочное среднее, размах выборки, моду и медиану, поясните их смысл.

Выборочное среднее

Для нахождения статистических характеристик сперва упорядочим исходный ряд данных по возрастанию.

Исходная выборка: 4, 6, 3, 2, 7, 8, 3, 5, 5, 7, 6, 6, 4.

Упорядоченный (вариационный) ряд: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8.

Выборочное среднее (или среднее арифметическое) — это сумма всех значений в выборке, делённая на их количество. В данном случае количество дней (объём выборки) $n=13$.

Сумма всех значений: $S = 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 = 66$.

Выборочное среднее $\bar{x}$ вычисляется по формуле: $\bar{x} = \frac{S}{n} = \frac{66}{13} \approx 5.08$.

Смысл: Выборочное среднее показывает, сколько учеников в среднем отсутствовало на занятиях в течение этих 13 дней. Это значение является мерой центральной тенденции, описывающей типичное значение в выборке.

Ответ: $\approx 5.08$.

Размах выборки

Размах выборки — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке. Для нашего упорядоченного ряда 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, наибольшее значение ($x_{max}$) равно 8, а наименьшее ($x_{min}$) — 2.

Размах $R = x_{max} - x_{min} = 8 - 2 = 6$.

Смысл: Размах показывает, насколько сильно варьируется (разбросано) количество отсутствующих учеников. В данном случае разница между самым "прогульным" и самым "посещаемым" днем составила 6 учеников.

Ответ: 6.

Мода

Мода — это значение в выборке, которое встречается чаще всего. Проанализируем частоту каждого значения в упорядоченном ряду 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8. Значение 2 встречается 1 раз, 3 – 2 раза, 4 – 2 раза, 5 – 2 раза, 6 – 3 раза, 7 – 2 раза, 8 – 1 раз.

Значение 6 встречается 3 раза, что чаще любого другого значения.

Смысл: Мода указывает на наиболее типичное, "популярное" количество отсутствующих учеников. В данном периоде чаще всего отсутствовало именно 6 учеников.

Ответ: 6.

Медиана

Медиана — это значение, которое делит упорядоченную выборку на две равные по численности части.

Наш упорядоченный ряд: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8.

Объём выборки $n = 13$ (нечётное число). Номер медианного элемента в ряду можно найти по формуле $\frac{n+1}{2}$. Номер элемента = $\frac{13+1}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Медианой является седьмой элемент упорядоченного ряда: $2, 3, 3, 4, 4, 5, \textbf{5}, 6, 6, 6, 7, 7, 8$.

Медиана равна 5.

Смысл: Медиана показывает, что в половине наблюдаемых дней количество отсутствующих было не больше 5, а в другой половине — не меньше 5. В отличие от среднего, медиана менее чувствительна к сильным выбросам (аномально большим или малым значениям).

Ответ: 5.