Номер 2.4, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.4. Из генеральной совокупности извлечена выборка: 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4.

1) составьте вариационный ряд выборки;

2) найдите объем и основные числовые характеристики выборки;

3) составьте таблицу частот.

1) составьте вариационный ряд выборки;

Вариационный ряд — это последовательность значений выборки, расположенных в порядке неубывания. Исходная выборка: 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4. Чтобы составить вариационный ряд, упорядочим все элементы выборки по возрастанию:

2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10.

Ответ: 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10.

2) найдите объем и основные числовые характеристики выборки;

Объем выборки ($\text{n}$) — это общее количество элементов в выборке. Посчитав элементы, получаем $n = 15$.

Основные числовые характеристики:

Размах выборки ($\text{R}$) — разность между максимальным и минимальным значениями в выборке. $x_{max} = 10$, $x_{min} = 2$. $R = x_{max} - x_{min} = 10 - 2 = 8$.

Мода ($M_o$) — значение, которое встречается в выборке чаще всего. В данном ряду:

• число 2 встречается 3 раза;
• число 3 встречается 1 раз;
• число 4 встречается 2 раза;
• число 5 встречается 3 раза;
• число 7 встречается 4 раза;
• число 10 встречается 2 раза.

Медиана ($M_e$) — значение, которое делит упорядоченную выборку на две равные части. Так как объем выборки $n = 15$ (нечетное число), медиана равна элементу, стоящему в середине, на позиции $\frac{n+1}{2} = \frac{15+1}{2} = 8$. В вариационном ряду (2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10) на восьмом месте стоит число 5. Следовательно, $M_e = 5$.

Выборочное среднее ($\bar{x}$) — среднее арифметическое всех значений выборки. $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{2+2+2+3+4+4+5+5+5+7+7+7+7+10+10}{15} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3} \approx 5.33$.

Выборочная дисперсия ($s^2$) — мера разброса данных вокруг среднего значения. Для несмещенной оценки используется формула $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$. $s^2 = \frac{1}{15-1} \left( 3(2-\frac{16}{3})^2 + 1(3-\frac{16}{3})^2 + 2(4-\frac{16}{3})^2 + 3(5-\frac{16}{3})^2 + 4(7-\frac{16}{3})^2 + 2(10-\frac{16}{3})^2 \right)$ $s^2 = \frac{1}{14} \left( 3(\frac{-10}{3})^2 + (\frac{-7}{3})^2 + 2(\frac{-4}{3})^2 + 3(\frac{-1}{3})^2 + 4(\frac{5}{3})^2 + 2(\frac{14}{3})^2 \right)$ $s^2 = \frac{1}{14} \left( 3\cdot\frac{100}{9} + \frac{49}{9} + 2\cdot\frac{16}{9} + 3\cdot\frac{1}{9} + 4\cdot\frac{25}{9} + 2\cdot\frac{196}{9} \right) = \frac{1}{14 \cdot 9} (300 + 49 + 32 + 3 + 100 + 392) = \frac{876}{126} = \frac{146}{21} \approx 6.95$.

Выборочное среднее квадратическое отклонение ($\text{s}$) — корень из дисперсии. $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{146}{21}} \approx \sqrt{6.95} \approx 2.64$.

Ответ: объем выборки $n = 15$; размах $R = 8$; мода $M_o = 7$; медиана $M_e = 5$; выборочное среднее $\bar{x} = \frac{16}{3} \approx 5.33$; выборочная дисперсия $s^2 = \frac{146}{21} \approx 6.95$; среднее квадратическое отклонение $s \approx 2.64$.

3) составьте таблицу частот.

Таблица частот (или статистический ряд) показывает, как часто встречаются различные значения (варианты) в выборке. Она включает сами варианты ($x_i$), их абсолютные частоты ($n_i$ - сколько раз вариант встречается) и относительные частоты ($w_i = \frac{n_i}{n}$ - доля варианта в общем объеме выборки).

Ответ: