Номер 2.10, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.10. Аскар выполнил семь тестовых заданий, каждое из которых состоит из 12 задач. За каждую верно решенную задачу добавляется 1 балл. Он узнал результаты пяти из семи тестов: 9, 5, 7, 9 и 10 баллов. Аскар спросил учителя о результатах оставшихся двух тестов. Учитель ответил, что мода всех результатов Аскара равна 9 баллам, а среднее значение – 8 баллам. Чему равны результаты оставшихся двух тестов?

Обозначим результаты оставшихся двух тестов как $\text{x}$ и $\text{y}$. Полный набор результатов Аскара состоит из семи оценок: $\{9, 5, 7, 9, 10, x, y\}$.

По условию, среднее значение всех семи результатов равно 8 баллам. Среднее значение вычисляется как сумма всех значений, деленная на их количество. Мы можем составить уравнение:

$\frac{9 + 5 + 7 + 9 + 10 + x + y}{7} = 8$

Найдем сумму известных пяти результатов: $9 + 5 + 7 + 9 + 10 = 40$.

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{40 + x + y}{7} = 8$

Выразим сумму неизвестных результатов $x + y$:

$40 + x + y = 8 \cdot 7$

$40 + x + y = 56$

$x + y = 56 - 40$

$x + y = 16$

Таким образом, сумма результатов двух оставшихся тестов равна 16.

Теперь используем второе условие: мода всех семи результатов равна 9. Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего.

Рассмотрим известные результаты: $\{5, 7, 9, 9, 10\}$. Здесь балл 9 встречается дважды, а все остальные баллы (5, 7, 10) — по одному разу. Чтобы 9 осталась модой для всего набора из семи оценок, она должна встречаться чаще любого другого значения.

Наиболее надежный способ обеспечить это — предположить, что один из неизвестных результатов также равен 9. Пусть $x = 9$. Тогда балл 9 будет встречаться в наборе три раза, что, скорее всего, сделает его модой.

Зная, что $x = 9$ и $x + y = 16$, мы можем найти второй неизвестный результат $\text{y}$:

$9 + y = 16$

$y = 16 - 9$

$y = 7$

Итак, мы получили, что неизвестные результаты равны 9 и 7. Проверим, выполняются ли все условия для набора $\{5, 7, 9, 9, 10, 9, 7\}$.

Упорядочим полный набор всех семи результатов: $\{5, 7, 7, 9, 9, 9, 10\}$.

1. Проверка среднего значения: Сумма баллов равна $5+7+7+9+9+9+10 = 56$. Среднее значение: $\frac{56}{7} = 8$. Условие выполнено.

2. Проверка моды: Балл 9 встречается 3 раза, балл 7 — 2 раза, баллы 5 и 10 — по 1 разу. Наиболее часто встречающееся значение — 9. Следовательно, мода равна 9. Условие выполнено.

Все условия, данные учителем, соблюдаются. Следовательно, результаты оставшихся двух тестов равны 9 и 7 баллам.

Ответ: 9 и 7 баллов.