Номер 2.7, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.7. Дана таблица частот выборки. Найдите объем выборки, выборочное среднее, моду и медиану.

1) $x_i$: 1, 5, 9, 13

$n_i$: 20, 10, 14, 6

2) $x_i$: 2, 3, 4, 5, 7, 10

$n_i$: 3, 1, 2, 3, 4, 2

1)

Объем выборки — это сумма всех частот $n_i$ в таблице.

$N = 20 + 10 + 14 + 6 = 50$.

Выборочное среднее ($\bar{x}$) вычисляется как среднее взвешенное всех значений выборки по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{N}$

$\bar{x} = \frac{1 \cdot 20 + 5 \cdot 10 + 9 \cdot 14 + 13 \cdot 6}{50} = \frac{20 + 50 + 126 + 78}{50} = \frac{274}{50} = 5.48$.

Мода ($Mo$) — это значение в выборке, которое встречается чаще всего. В данном случае наибольшая частота равна 20, и она соответствует значению $x_i = 1$.

$Mo = 1$.

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченную выборку на две равные части.

Объем выборки $N = 50$ — четное число. Поэтому медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, стоящих на позициях $\frac{N}{2} = 25$ и $\frac{N}{2} + 1 = 26$.

Для нахождения этих элементов рассмотрим накопленные частоты:

- значения $x_i=1$ занимают позиции с 1-й по 20-ю.

- значения $x_i=5$ занимают позиции с 21-й по (20+10=) 30-ю.

Таким образом, 25-й и 26-й элементы выборки равны 5.

$Me = \frac{5 + 5}{2} = 5$.

Ответ: объем выборки: 50, выборочное среднее: 5.48, мода: 1, медиана: 5.

2)

Объем выборки — это сумма всех частот.

$N = 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + 2 = 15$.

Выборочное среднее ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 7 \cdot 4 + 10 \cdot 2}{15} = \frac{6 + 3 + 8 + 15 + 28 + 20}{15} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3}$.

Мода ($Mo$). Наибольшая частота равна 4, что соответствует значению $x_i = 7$.

$Mo = 7$.

Медиана ($Me$). Объем выборки $N = 15$ — нечетное число. Медиана равна значению элемента, стоящего на центральной позиции $\frac{N+1}{2} = \frac{15+1}{2} = 8$.

Найдем 8-й элемент по накопленным частотам:

- значения $x_i=2$ занимают позиции с 1-й по 3-ю.

- значение $x_i=3$ занимает 4-ю позицию.

- значения $x_i=4$ занимают 5-ю и 6-ю позиции.

- значения $x_i=5$ занимают позиции с 7-й по 9-ю.

Следовательно, 8-й элемент выборки равен 5.

$Me = 5$.

Ответ: объем выборки: 15, выборочное среднее: $\frac{16}{3}$, мода: 7, медиана: 5.