Вопросы, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Приведите пример дискретной случайной величины.

2. Приведите пример непрерывной случайной величины.

3. Что называют полигоном частот? Как его строят?

4. Что называют интервальным вариационным рядом? Как он составляется?

5. Как построить гистограмму?

1. Приведите пример дискретной случайной величины.

Дискретной называют случайную величину, которая может принимать только отдельные, изолированные друг от друга значения. Количество таких значений может быть конечным или счетным (как, например, множество натуральных чисел). Значения такой величины часто являются целыми числами, полученными в результате подсчета.

Пример: Число очков, выпавших при однократном броске стандартного игрального кубика. Эта случайная величина может принять одно из шести возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Между этими значениями (например, между 2 и 3) нет других возможных исходов. Другие примеры: количество студентов в аудитории, число бракованных деталей в партии, количество вызовов, поступивших на телефонную станцию за час.

Ответ: Примером дискретной случайной величины является число очков, выпавших при броске игральной кости, которое может принимать значения из множества ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$.

2. Приведите пример непрерывной случайной величины.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любое значение из некоторого числового промежутка (интервала). В отличие от дискретной величины, между любыми двумя возможными значениями непрерывной величины всегда существует бесконечное множество других возможных значений.

Пример: Рост взрослого человека. Рост не обязательно выражается целым числом сантиметров. Он может быть 175 см, 175,1 см, 175,12 см и так далее. Теоретически, значение роста может быть любым действительным числом в определенном диапазоне (например, от 50 см до 250 см). Другие примеры: температура воздуха, масса тела, время ожидания автобуса, артериальное давление.

Ответ: Примером непрерывной случайной величины является рост человека, который может принимать любое значение в некотором диапазоне, например, от 160 см до 190 см.

3. Что называют полигоном частот? Как его строят?

Полигон частот (или многоугольник распределения) – это один из способов графического представления статистических данных. Он представляет собой ломаную линию, соединяющую точки, координаты которых соответствуют значениям признака и их частотам.

Построение полигона частот выполняется в несколько шагов:

1. На горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывают значения варьирующего признака $x_i$. Если данные сгруппированы в интервальный ряд, то на оси откладывают середины интервалов.
2. На вертикальной оси (оси ординат) откладывают соответствующие этим значениям частоты $n_i$ (или относительные частоты $w_i$).
3. В системе координат строят точки с координатами $(x_i, n_i)$.
4. Полученные точки последовательно соединяют отрезками прямых.
5. Для того чтобы многоугольник был замкнут с осью абсцисс, его обычно дополняют двумя точками с нулевой частотой. Первая точка соответствует середине интервала, предшествующего первому, а вторая – середине интервала, следующего за последним.

Полигон частот наглядно показывает форму распределения данных.

Ответ: Полигон частот — это ломаная линия, соединяющая точки, абсциссы которых — значения случайной величины (или середины интервалов), а ординаты — соответствующие им частоты. Для построения находят эти точки в системе координат и последовательно соединяют их отрезками.

4. Что называют интервальным вариационным рядом? Как он составляется?

Интервальный вариационный ряд – это упорядоченная по возрастанию последовательность интервалов, в которые попали значения исследуемого признака, с указанием частот (числа значений, попавших в каждый интервал).

Составление интервального ряда включает следующие этапы:

1. Определение размаха вариации. Находят максимальное ($x_{max}$) и минимальное ($x_{min}$) значения в исходной совокупности данных. Размах вычисляется как $R = x_{max} - x_{min}$.
2. Определение числа интервалов. Число интервалов $\text{k}$ выбирается так, чтобы наглядно представить распределение, но не потерять его особенности. Часто для этого используют формулу Стерджесса: $k \approx 1 + 3.322 \cdot \lg(n)$, где $\text{n}$ – объем выборки. На практике часто выбирают от 5 до 15 интервалов.
3. Определение ширины интервала. Ширина интервала $\text{h}$ вычисляется по формуле: $h = R / k$. Полученное значение обычно округляют в большую сторону до удобного числа.
4. Определение границ интервалов. Начало первого интервала $x_{нач}$ берут равным $x_{min}$ или немного меньше (например, $x_{нач} = x_{min} - h/2$). Границы последующих интервалов получают, прибавляя к предыдущей границе ширину интервала $\text{h}$. Границы определяются так, чтобы каждый элемент выборки попал ровно в один интервал (например, используя полуинтервалы вида $[a, b)$).
5. Подсчет частот. Определяют, сколько значений из исходных данных попадает в каждый из полученных интервалов. Это число называется частотой интервала ($n_i$).
6. Составление таблицы. Результаты сводят в таблицу, которая содержит два столбца: интервалы и соответствующие им частоты.

Ответ: Интервальный вариационный ряд — это таблица, состоящая из интервалов значений и соответствующих им частот. Он составляется путем определения размаха данных, выбора числа и ширины интервалов, определения их границ и подсчета количества наблюдений, попадающих в каждый интервал.

5. Как построить гистограмму?

Гистограмма – это графическое представление интервального вариационного ряда. Она представляет собой совокупность примыкающих друг к другу прямоугольников, основания которых расположены на оси абсцисс и равны ширине интервалов, а площади пропорциональны частотам этих интервалов.

Построение гистограммы включает следующие шаги:

1. Построить интервальный вариационный ряд. Это подготовительный этап, описанный в предыдущем вопросе. Нужна таблица с интервалами и их частотами.
2. Начертить оси координат. На горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывают значения признака, размечая ее в соответствии с границами интервалов. На вертикальной оси (оси ординат) откладывают частоты или плотности частот.
3. Построить прямоугольники. Для каждого интервала строится прямоугольник.
   • Основание каждого прямоугольника на оси абсцисс равно ширине соответствующего интервала.
   • Высота прямоугольника зависит от того, равны ли ширины интервалов:
     • Если все интервалы имеют одинаковую ширину ($\text{h}$), то высота прямоугольника может быть равна частоте ($n_i$) или относительной частоте ($w_i$) данного интервала.
     • Если интервалы имеют разную ширину ($\Delta x_i$), то высота прямоугольника должна быть равна плотности частоты, которая вычисляется по формуле: $p_i = \frac{n_i}{\Delta x_i}$ (частота, деленная на ширину интервала). В этом случае площадь прямоугольника $S_i = p_i \cdot \Delta x_i = n_i$ будет равна (или пропорциональна) частоте, что обеспечивает корректное визуальное сравнение интервалов.

Прямоугольники гистограммы строятся вплотную друг к другу, без зазоров, что подчеркивает непрерывный характер сгруппированных данных.

Ответ: Для построения гистограммы на горизонтальной оси откладывают границы интервалов, а для каждого интервала строят прямоугольник, ширина которого равна ширине интервала, а высота равна частоте (для случая равных интервалов) или плотности частоты (для случая разных интервалов).