Номер 2.8, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Для выполнения заданий сначала сгруппируем данные и составим частотный ряд. Объем выборки $n = 40$.

Уникальные значения (варианты) и их частоты (сколько раз они встречаются в выборке):

• 6: 1 раз
• 7: 4 раза
• 8: 6 раз
• 9: 9 раз
• 10: 7 раз
• 11: 4 раза
• 12: 4 раза
• 13: 3 раза
• 14: 2 раза

Основные числовые характеристики выборки включают меры центральной тенденции (среднее, мода, медиана) и меры разброса (размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

Выборочное среднее ($\bar{x}$) — это сумма всех значений выборки, деленная на их количество.

Формула для сгруппированных данных: $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} x_i n_i$

$\bar{x} = \frac{6 \cdot 1 + 7 \cdot 4 + 8 \cdot 6 + 9 \cdot 9 + 10 \cdot 7 + 11 \cdot 4 + 12 \cdot 4 + 13 \cdot 3 + 14 \cdot 2}{40} = \frac{6+28+48+81+70+44+48+39+28}{40} = \frac{392}{40} = 9.8$

Мода ($Mo$) — это значение в выборке, которое встречается чаще всего.

Из частотного ряда видно, что значение 9 встречается 9 раз, что является наибольшей частотой.

$Mo = 9$

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченную выборку на две равные части.

Так как объем выборки $n=40$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, т.е. 20-го и 21-го элементов в упорядоченном ряду.

Накопленная частота для значения 9 равна $1+4+6+9=20$. Это значит, что 20-й элемент ряда равен 9 ($x_{20} = 9$).

Следующий, 21-й элемент, равен 10 ($x_{21} = 10$).

$Me = \frac{x_{20} + x_{21}}{2} = \frac{9 + 10}{2} = 9.5$

Размах ($\text{R}$) — это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке.

$x_{max} = 14$, $x_{min} = 6$.

$R = x_{max} - x_{min} = 14 - 6 = 8$

Исправленная выборочная дисперсия ($s^2$) — это мера разброса данных вокруг среднего. Исправленная дисперсия является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Формула для расчета: $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{k} n_i(x_i - \bar{x})^2$. Для удобства вычислений используем формулу: $s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2 - n\bar{x}^2 \right)$.

Сначала найдем $\sum n_i x_i^2$:

$\sum n_i x_i^2 = 1 \cdot 6^2 + 4 \cdot 7^2 + 6 \cdot 8^2 + 9 \cdot 9^2 + 7 \cdot 10^2 + 4 \cdot 11^2 + 4 \cdot 12^2 + 3 \cdot 13^2 + 2 \cdot 14^2 = 36 + 196 + 384 + 729 + 700 + 484 + 576 + 507 + 392 = 4004$.

Теперь вычислим дисперсию:

$s^2 = \frac{1}{40-1} (4004 - 40 \cdot 9.8^2) = \frac{1}{39} (4004 - 40 \cdot 96.04) = \frac{1}{39} (4004 - 3841.6) = \frac{162.4}{39} \approx 4.164$

Исправленное среднее квадратическое отклонение ($\text{s}$) — это корень квадратный из дисперсии.

$s = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{4.164} \approx 2.041$

Ответ: Основные числовые характеристики выборки:

• Выборочное среднее: $\bar{x} = 9.8$
• Мода: $Mo = 9$
• Медиана: $Me = 9.5$
• Размах: $R = 8$
• Исправленная выборочная дисперсия: $s^2 \approx 4.164$
• Исправленное среднее квадратическое отклонение: $s \approx 2.041$

Относительная частота ($w_i$) для каждой варианты $x_i$ вычисляется как отношение ее частоты $n_i$ к общему объему выборки $\text{n}$. Формула: $w_i = \frac{n_i}{n}$.

Ответ: