Номер 2.3, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.3. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

1) 2, 1, 3, 3, 4, 5, 4, 4, 3, 5, 2, 2, 3, 4, 3, 1, 5, 4, 2, 3;

2) 4, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 7, 6, 5, 5, 3, 5, 6, 8, 5, 3, 4, 6.

Для данной выборки:

1) найдите объем выборки;

2) найдите размах выборки, выборочное среднее, моду, медиану;

3) составьте таблицу частот.

Решение для выборки 1)

Дана выборка: 2, 1, 3, 3, 4, 5, 4, 4, 3, 5, 2, 2, 3, 4, 3, 1, 5, 4, 2, 3.

1) найдите объем выборки

Объем выборки $\text{n}$ — это общее число элементов в ней. Произведя подсчет, получаем, что в данной выборке 20 элементов.

Ответ: Объем выборки $n=20$.

2) найдите размах выборки, выборочное среднее, моду, медиану

Для нахождения статистических характеристик первым шагом упорядочим элементы выборки по возрастанию, получив вариационный ряд:

1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5.

Размах выборки ($\text{R}$) — это разность между максимальным ($x_{max}$) и минимальным ($x_{min}$) значениями в выборке.

$x_{min} = 1$

$x_{max} = 5$

$R = x_{max} - x_{min} = 5 - 1 = 4$.

Выборочное среднее ($\bar{x}$) — это среднее арифметическое всех значений выборки. Оно вычисляется по формуле $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$.

$\bar{x} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 3}{20} = \frac{2 + 8 + 18 + 20 + 15}{20} = \frac{63}{20} = 3.15$.

Мода ($M_o$) — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто.

Подсчитаем частоты для каждого значения: 1 встречается 2 раза, 2 — 4 раза, 3 — 6 раз, 4 — 5 раз, 5 — 3 раза.

Наибольшая частота у значения 3 (6 раз). Следовательно, мода равна 3.

Медиана ($M_e$) — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных.

Поскольку объем выборки $n=20$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, которые стоят на позициях $n/2=10$ и $n/2+1=11$.

В вариационном ряду на 10-м и 11-м местах стоят числа 3 и 3.

$M_e = \frac{3 + 3}{2} = 3$.

Ответ: Размах выборки $R=4$; выборочное среднее $\bar{x}=3.15$; мода $M_o=3$; медиана $M_e=3$.

3) составьте таблицу частот

Таблица частот показывает, сколько раз каждое уникальное значение (варианта $x_i$) встречается в выборке (абсолютная частота $n_i$), а также долю каждого значения в общем объеме выборки (относительная частота $W_i = n_i/n$).

Ответ: Таблица частот составлена выше.

Решение для выборки 2)

Дана выборка: 4, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 7, 6, 5, 5, 3, 5, 6, 8, 5, 3, 4, 6.

1) найдите объем выборки

Объем выборки $\text{n}$ — это общее количество элементов. В данной выборке 20 элементов.

Ответ: Объем выборки $n=20$.

2) найдите размах выборки, выборочное среднее, моду, медиану

Для вычислений упорядочим элементы выборки по возрастанию (составим вариационный ряд):

3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8.

Размах выборки ($\text{R}$) — это разность между максимальным ($x_{max}$) и минимальным ($x_{min}$) значениями.

$x_{min} = 3$

$x_{max} = 8$

$R = x_{max} - x_{min} = 8 - 3 = 5$.

Выборочное среднее ($\bar{x}$) — это среднее арифметическое всех значений выборки.

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + 8 \cdot 2}{20} = \frac{9 + 16 + 20 + 30 + 14 + 16}{20} = \frac{105}{20} = 5.25$.

Мода ($M_o$) — это значение с наибольшей частотой встречаемости в выборке.

Подсчитаем частоты: 3 (3 раза), 4 (4 раза), 5 (4 раза), 6 (5 раз), 7 (2 раза), 8 (2 раза).

Наибольшая частота у значения 6 (5 раз). Значит, мода равна 6.

Медиана ($M_e$) — это значение в середине упорядоченного ряда.

Объем выборки $n=20$ (четное число), поэтому медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (на 10-й и 11-й позициях).

В вариационном ряду на 10-м и 11-м местах стоят числа 5 и 5.

$M_e = \frac{5 + 5}{2} = 5$.

Ответ: Размах выборки $R=5$; выборочное среднее $\bar{x}=5.25$; мода $M_o=6$; медиана $M_e=5$.

3) составьте таблицу частот

Составим таблицу частот, где $x_i$ — варианта, $n_i$ — абсолютная частота, $W_i$ — относительная частота.

Ответ: Таблица частот составлена выше.