Работа в группе, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Пользуясь таблицей 2.4, найдите размах выборки, выборочное среднее, моду и медиану.

Таблица 2.4. Количество зерен в колосьях пшеницы, отобранных с неудобренного участка земли

Размах выборки

Размах выборки — это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке. В данном случае значениями являются количества зерен в колосе.

Минимальное значение ($x_{min}$) равно 2.

Максимальное значение ($x_{max}$) равно 9.

Размах = $x_{max} - x_{min} = 9 - 2 = 7$.

Ответ: 7.

Выборочное среднее

Выборочное среднее ($\bar{x}$) для сгруппированных данных вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$

где $x_i$ — значение (количество зерен), а $n_i$ — его частота.

Сначала найдем общий объем выборки (общее количество колосьев), сложив все частоты:

$N = \sum n_i = 2 + 11 + 19 + 29 + 51 + 25 + 12 + 1 = 150$.

Затем вычислим сумму произведений значений на их частоты:

$\sum x_i n_i = (2 \cdot 2) + (3 \cdot 11) + (4 \cdot 19) + (5 \cdot 29) + (6 \cdot 51) + (7 \cdot 25) + (8 \cdot 12) + (9 \cdot 1)$

$\sum x_i n_i = 4 + 33 + 76 + 145 + 306 + 175 + 96 + 9 = 844$.

Теперь можем найти выборочное среднее:

$\bar{x} = \frac{844}{150} = \frac{422}{75} \approx 5.63$.

Ответ: $\frac{422}{75}$ (приблизительно 5.63).

Мода

Мода — это значение, которое встречается в выборке чаще всего. В частотной таблице это значение, соответствующее наибольшей частоте.

Просматривая строку частот $n_i$, мы видим, что наибольшая частота равна 51. Эта частота соответствует значению $x_i = 6$.

Следовательно, мода выборки равна 6.

Ответ: 6.

Медиана

Медиана — это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Поскольку общий объем выборки $N = 150$ (четное число), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных элементов, то есть элементов с номерами $\frac{N}{2}$ и $\frac{N}{2} + 1$.

Номера центральных элементов: $\frac{150}{2} = 75$ и $\frac{150}{2} + 1 = 76$.

Нам нужно найти 75-е и 76-е значения в упорядоченном ряду. Для этого воспользуемся накопленными частотами, то есть посчитаем, сколько колосьев имеют определенное количество зерен или меньше:

До 2 зерен включительно: 2 колоса.

До 3 зерен включительно: 2 + 11 = 13 колосьев.

До 4 зерен включительно: 13 + 19 = 32 колоса.

До 5 зерен включительно: 32 + 29 = 61 колос.

До 6 зерен включительно: 61 + 51 = 112 колосьев.

Из этих расчетов видно, что 61-й колос в упорядоченном ряду имеет 5 зерен, а колосья с 62-го по 112-й имеют 6 зерен. Поскольку и 75-й, и 76-й номера попадают в этот диапазон [62, 112], оба соответствующих значения равны 6.

Медиана = $\frac{6 + 6}{2} = 6$.

Ответ: 6.