Номер 1.150, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.150*. Поверхность фары легкового автомобиля моделируется уравнениями $x = 2t^2$, $y = 4t$, $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$. Покажите, что уравнение этой кривой записывается в виде $y^2 = 8x$. Найдите объем тела, полученного вращением данной кривой вокруг оси $\text{Ox}$.

Покажите, что уравнение этой кривой записывается в виде $y^2 = 8x$.

Кривая задана параметрическими уравнениями: $x = 2t^2$ и $y = 4t$. Для того чтобы перейти к уравнению в декартовых координатах, необходимо исключить параметр $\text{t}$. Из второго уравнения выразим параметр $\text{t}$ через $\text{y}$: $y = 4t \implies t = \frac{y}{4}$. Теперь подставим это выражение в первое уравнение, связывающее $\text{x}$ и $\text{t}$: $x = 2t^2 = 2\left(\frac{y}{4}\right)^2$. Выполним преобразования: $x = 2\left(\frac{y^2}{16}\right) = \frac{2y^2}{16} = \frac{y^2}{8}$. Из полученного соотношения $x = \frac{y^2}{8}$ выразим $y^2$: $y^2 = 8x$. Это доказывает, что уравнение данной кривой в декартовой системе координат действительно имеет вид $y^2 = 8x$.

Найдите объем тела, полученного вращением данной кривой вокруг оси Ox.

Объем тела вращения, образованного при вращении кривой, заданной функцией $y = f(x)$, вокруг оси Ox на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле дисков: $V = \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx$. Из первой части задачи мы знаем, что $y^2 = 8x$. Теперь необходимо определить пределы интегрирования $\text{a}$ и $\text{b}$. Они соответствуют минимальному и максимальному значениям координаты $\text{x}$ для заданной кривой. Параметр $\text{t}$ изменяется в пределах $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$. Координата $\text{x}$ определяется как $x = 2t^2$. Найдем крайние значения $\text{x}$: При $t = 0$, $x = 2(0)^2 = 0$. Это минимальное значение $\text{x}$. При $t = \pm\sqrt{2}$, $x = 2(\pm\sqrt{2})^2 = 2(2) = 4$. Это максимальное значение $\text{x}$. Следовательно, вращение кривой происходит на отрезке $\text{x}$ от $\text{0}$ до $\text{4}$. Таким образом, пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 4$. Подставим все данные в формулу для объема: $V = \pi \int_{0}^{4} 8x \, dx$. Вынесем константу $8\pi$ за знак интеграла: $V = 8\pi \int_{0}^{4} x \, dx$. Интегрируем $\text{x}$: $V = 8\pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $V = 8\pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 8\pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi \cdot 8 = 64\pi$. Объем тела вращения равен $64\pi$.

Ответ: $64\pi$.