Номер 1.153, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.153. Найдите наибольшее значение выражения:

1) $1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha$;

2) $\cos 2\alpha \tan 2\alpha + 5\cos 2\alpha - 1$.

1)

Рассмотрим выражение $1 - \cos{2\alpha} + \sin{2\alpha}$.

Чтобы найти его наибольшее значение, перегруппируем слагаемые: $1 + (\sin{2\alpha} - \cos{2\alpha})$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего значения выражения в скобках. Для этого воспользуемся методом введения вспомогательного угла для выражения вида $a\sin{x} + b\cos{x}$, максимальное значение которого равно $\sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем случае имеем выражение $\sin{2\alpha} - \cos{2\alpha}$, где $a=1$ и $b=-1$.

Преобразуем его:

$\sin{2\alpha} - \cos{2\alpha} = \sqrt{1^2+(-1)^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin{2\alpha} - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{2\alpha} \right)$.

Поскольку $\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, мы можем записать:

$\sqrt{2} \left( \sin{2\alpha}\cos{\frac{\pi}{4}} - \cos{2\alpha}\sin{\frac{\pi}{4}} \right)$.

Применяя формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin{x}\cos{y} - \cos{x}\sin{y}$, получаем:

$\sqrt{2}\sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.

Наибольшее значение функции синус равно 1. Следовательно, наибольшее значение для $\sqrt{2}\sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$ составляет $\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$.

Возвращаясь к исходному выражению, его наибольшее значение будет:

$1 + \sqrt{2}$.

Ответ: $1 + \sqrt{2}$.

2)

Рассмотрим выражение $\cos{2\alpha}\text{tg}{2\alpha} + 5\cos{2\alpha} - 1$.

Область допустимых значений этого выражения определяется условием $\cos{2\alpha} \neq 0$, так как на ноль делить нельзя, а $\text{tg}{2\alpha} = \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}$.

На этой области упростим первое слагаемое:

$\cos{2\alpha}\text{tg}{2\alpha} = \cos{2\alpha} \cdot \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}} = \sin{2\alpha}$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду:

$\sin{2\alpha} + 5\cos{2\alpha} - 1$.

Чтобы найти наибольшее значение, найдем максимум выражения $\sin{2\alpha} + 5\cos{2\alpha}$. Снова используем тот факт, что наибольшее значение выражения $a\sin{x} + b\cos{x}$ равно $\sqrt{a^2+b^2}$.

Для $\sin{2\alpha} + 5\cos{2\alpha}$ имеем $a=1$, $b=5$.

Наибольшее значение равно $\sqrt{1^2+5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$.

Этот максимум достигается при $\cos{2\alpha} = \frac{5}{\sqrt{26}}$, что не равно нулю. Значит, точка максимума входит в область определения исходного выражения.

Следовательно, наибольшее значение всего выражения равно:

$\sqrt{26} - 1$.

Ответ: $\sqrt{26} - 1$.