Номер 1.147, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.147. Найдите объем шарового сектора радиуса $\text{R}$ с центральным углом $\alpha$.

Шаровой сектор представляет собой тело, образованное частью шара, которая ограничена конической поверхностью с вершиной в центре шара и соответствующим сферическим сегментом. Параметрами задачи являются радиус шара $\text{R}$ и центральный угол $\alpha$, который является углом при вершине конуса.

Для нахождения объема шарового сектора можно воспользоваться стандартной формулой: $V = \frac{2}{3} \pi R^2 h$, где $\text{R}$ — радиус шара, а $\text{h}$ — высота соответствующего шарового сегмента (также называемого шапочкой).

Задачу можно свести к определению высоты $\text{h}$ через заданные параметры $\text{R}$ и $\alpha$. Рассмотрим осевое сечение шарового сектора. Это сечение представляет собой два симметричных круговых сектора. Угол при вершине конуса в этом сечении равен $\alpha$. Следовательно, угол между осью симметрии конуса и его образующей равен $\frac{\alpha}{2}$.

Высота шарового сегмента $\text{h}$ — это расстояние от вершины сегмента (полюса) до его основания. Расстояние от центра шара до плоскости основания сегмента можно найти из прямоугольного треугольника, где гипотенуза — это радиус шара $\text{R}$, а прилежащий к искомому катету угол равен $\frac{\alpha}{2}$. Таким образом, это расстояние равно $R \cos(\frac{\alpha}{2})$. Высота $\text{h}$ тогда будет равна разности радиуса шара и этого расстояния:

$h = R - R \cos(\frac{\alpha}{2}) = R\left(1 - \cos(\frac{\alpha}{2})\right)$

Теперь подставим полученное выражение для $\text{h}$ в формулу объема шарового сектора:

$V = \frac{2}{3} \pi R^2 h = \frac{2}{3} \pi R^2 \left(R\left(1 - \cos(\frac{\alpha}{2})\right)\right)$

Упрощая, получаем конечную формулу для объема:

$V = \frac{2\pi R^3}{3}\left(1 - \cos(\frac{\alpha}{2})\right)$

Этот результат также можно подтвердить прямым интегрированием в сферической системе координат $(\rho, \phi, \theta)$. Элемент объема в этих координатах равен $dV = \rho^2 \sin\phi \, d\\rho\, d\phi \, d\theta$. Для шарового сектора с радиусом $\text{R}$ и центральным углом $\alpha$ пределы интегрирования будут следующими: $\rho$ от $\text{0}$ до $\text{R}$, азимутальный угол $\theta$ от $\text{0}$ до $2\pi$, и полярный угол $\phi$ от $\text{0}$ до $\frac{\alpha}{2}$.

$V = \int_{0}^{\alpha/2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \rho^2 \sin\phi \, d\\rho\, d\theta \, d\phi$

Интеграл можно представить как произведение трех независимых интегралов:

$V = \left( \int_{0}^{R} \rho^2 \, d\\rho\right) \left( \int_{0}^{2\pi} d\theta \right) \left( \int_{0}^{\alpha/2} \sin\phi \, d\phi \right)$

Вычисляя каждый интеграл, получаем:

$V = \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_{0}^{R} \cdot [\theta]_{0}^{2\pi} \cdot [-\cos\phi]_{0}^{\alpha/2} = \frac{R^3}{3} \cdot 2\pi \cdot \left(-\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) - (-\cos 0)\right) = \frac{2\pi R^3}{3}\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: $V = \frac{2\pi R^3}{3}\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$.