Номер 1.141, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Прикладная задача

1.141. Для растяжения пружины на 1 см требуется сила 1 кН. На сколько сантиметров можно растянуть пружину, если совершить работу $A = 5 \text{ кДж}$?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить коэффициент жесткости пружины $\text{k}$ с помощью закона Гука, а затем, зная этот коэффициент, найти итоговое растяжение пружины, на которое она растянется при совершении работы $\text{A}$.

Согласно закону Гука, сила упругости $\text{F}$, возникающая при растяжении пружины, пропорциональна величине этого растяжения $\Delta x$: $F = k \cdot \Delta x$. По условию, для растяжения пружины на $\Delta x_1 = 1$ см требуется сила $F_1 = 1$ кН. Переведем эти величины в систему СИ для согласованности единиц измерения:

$F_1 = 1 \text{ кН} = 1 \times 10^3 \text{ Н} = 1000 \text{ Н}$

$\Delta x_1 = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Теперь можем найти коэффициент жесткости $\text{k}$ из закона Гука:

$k = \frac{F_1}{\Delta x_1} = \frac{1000 \text{ Н}}{0.01 \text{ м}} = 100000 \text{ Н/м} = 10^5 \text{ Н/м}$.

Далее, работа $\text{A}$, совершаемая для растяжения пружины на величину $\text{x}$, равна потенциальной энергии, запасенной в пружине, и вычисляется по формуле: $A = \frac{k \cdot x^2}{2}$. Нам нужно найти, на сколько сантиметров $\text{x}$ можно растянуть пружину, если совершить работу $A = 5$ кДж. Снова переведем работу в СИ:

$A = 5 \text{ кДж} = 5 \times 10^3 \text{ Дж} = 5000 \text{ Дж}$

Теперь выразим искомое растяжение $\text{x}$ из формулы для работы:

$2A = k \cdot x^2 \implies x^2 = \frac{2A}{k} \implies x = \sqrt{\frac{2A}{k}}$

Подставим известные значения $\text{A}$ и $\text{k}$ в эту формулу:

$x = \sqrt{\frac{2 \cdot 5000 \text{ Дж}}{100000 \text{ Н/м}}} = \sqrt{\frac{10000}{100000}} \text{ м} = \sqrt{0.1} \text{ м}$.

Вопрос требует дать ответ в сантиметрах, поэтому переведем полученное значение. Для более точного ответа преобразуем выражение:

$x = \sqrt{0.1} \text{ м} = \sqrt{\frac{1}{10}} \text{ м} = \frac{1}{\sqrt{10}} \text{ м} = \frac{\sqrt{10}}{10} \text{ м}$.

Перевод в сантиметры (1 м = 100 см):

$x = \frac{\sqrt{10}}{10} \times 100 \text{ см} = 10\sqrt{10} \text{ см}$.

Приближенное значение, учитывая $\sqrt{10} \approx 3.162$, составляет $x \approx 10 \times 3.162 = 31.62$ см.

Ответ: $10\sqrt{10}$ см.