Номер 1.135, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Прикладная задача

1.135. Скорость движения материального тела задана функцией $v(t)=-3t^2 + 2t$ м/с. Найдите путь, пройденный телом за первую секунду, и расстояние, на которое оно удалилось от начальной точки.

Путь, пройденный телом за первую секунду

Скорость движения тела задана функцией $v(t) = -3t^2 + 2t$ м/с. Путь $\text{S}$, пройденный телом за первую секунду (то есть за промежуток времени от $t=0$ до $t=1$), вычисляется как интеграл от модуля скорости по этому промежутку: $S = \int_{0}^{1} |v(t)| dt = \int_{0}^{1} |-3t^2 + 2t| dt$.

Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знаки функции $v(t)$ на интервале $[0, 1]$. Для этого найдем ее нули: $-3t^2 + 2t = 0$ $t(-3t + 2) = 0$ Корни уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = 2/3$.

Функция $v(t)$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, на интервале $(0, 2/3)$ функция принимает положительные значения ($v(t) > 0$), а на интервале $(2/3, 1]$ — отрицательные ($v(t) < 0$). Это означает, что тело движется в положительном направлении до момента времени $t=2/3$ с, после чего меняет направление на противоположное.

Поэтому для вычисления пути необходимо разбить интеграл на два, соответственно интервалам знакопостоянства скорости: $S = \int_{0}^{2/3} (-3t^2 + 2t) dt + \int_{2/3}^{1} -(-3t^2 + 2t) dt = \int_{0}^{2/3} (-3t^2 + 2t) dt + \int_{2/3}^{1} (3t^2 - 2t) dt$.

Вычислим каждый интеграл. Первообразная для функции $v(t)$ есть закон движения $s(t)$: $s(t) = \int (-3t^2 + 2t) dt = -t^3 + t^2 + C$. Будем считать, что в начальный момент времени тело находилось в начале координат, т.е. $s(0)=0$, тогда $C=0$ и $s(t) = -t^3 + t^2$.

Путь, пройденный на первом участке (от $t=0$ до $t=2/3$), равен: $S_1 = \int_{0}^{2/3} (-3t^2 + 2t) dt = [-t^3 + t^2]_{0}^{2/3} = -(\frac{2}{3})^3 + (\frac{2}{3})^2 - 0 = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} = \frac{-8+12}{27} = \frac{4}{27}$ м.

Путь, пройденный на втором участке (от $t=2/3$ до $t=1$), равен: $S_2 = \int_{2/3}^{1} (3t^2 - 2t) dt = [t^3 - t^2]_{2/3}^{1} = (1^3 - 1^2) - ((\frac{2}{3})^3 - (\frac{2}{3})^2) = 0 - (\frac{8}{27} - \frac{4}{9}) = -(\frac{8-12}{27}) = -(-\frac{4}{27}) = \frac{4}{27}$ м.

Общий путь — это сумма путей, пройденных на каждом участке: $S = S_1 + S_2 = \frac{4}{27} + \frac{4}{27} = \frac{8}{27}$ м.

Ответ: $\frac{8}{27}$ м.

Расстояние, на которое оно удалилось от начальной точки

Расстояние, на которое тело удалилось от начальной точки за первую секунду, — это модуль его перемещения к моменту времени $t=1$. Перемещение $\Delta s$ — это разность между конечной и начальной координатой, и оно вычисляется как определенный интеграл от функции скорости: $\Delta s = s(1) - s(0) = \int_{0}^{1} v(t) dt$.

Вычислим этот интеграл: $\Delta s = \int_{0}^{1} (-3t^2 + 2t) dt = [-t^3 + t^2]_{0}^{1} = (-1^3 + 1^2) - (-0^3 + 0^2) = (-1 + 1) - 0 = 0$ м.

Перемещение тела за первую секунду равно нулю. Это означает, что к концу первой секунды тело вернулось в исходную точку. Следовательно, расстояние от начальной точки в этот момент времени равно нулю.

Ответ: 0 м.