Номер 1.137, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.137. Изобразите тело, полученное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, и вычислите его объем:

1) $y = \cos2x, 0 < x < \frac{\pi}{4}$

2) $y = (x-1)^3, 1 \leq x \leq 3$

3) $y = 4\sin2x, 0 < x < \frac{\pi}{4}$

4) $y = \sqrt{\sin x}, 0 \leq x \leq \pi$

1) Тело получено вращением вокруг оси Oх криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = \cos(2x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=\frac{\pi}{4}$. Полученное тело вращения имеет форму, похожую на наконечник снаряда, сужающуюся от радиуса $y=1$ при $x=0$ до точки при $x=\frac{\pi}{4}$.

Объем тела вращения вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_a^b y^2 dx$

В данном случае $y = \cos(2x)$, $a=0$, $b=\frac{\pi}{4}$.

$V = \pi \int_0^{\pi/4} (\cos(2x))^2 dx = \pi \int_0^{\pi/4} \cos^2(2x) dx$

Для вычисления интеграла используем формулу понижения степени: $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$. Для $\alpha = 2x$ получаем:

$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$

Подставляем в интеграл:

$V = \pi \int_0^{\pi/4} \frac{1 + \cos(4x)}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi/4} (1 + \cos(4x)) dx$

Находим первообразную:

$V = \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{1}{4}\sin(4x) \right]_0^{\pi/4}$

Вычисляем определенный интеграл:

$V = \frac{\pi}{2} \left( \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}\sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}) \right) - \left( 0 + \frac{1}{4}\sin(0) \right) \right)$

$V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}\sin(\pi) - 0 \right) = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{4} + 0 \right) = \frac{\pi^2}{8}$

Ответ: $\frac{\pi^2}{8}$.

2) Тело получено вращением вокруг оси Oх криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = (x-1)^3$, осью $Ox$ и прямыми $x=1$ и $x=3$. Тело вращения имеет форму, похожую на раструб трубы, начинающийся в точке $(1,0)$ и расширяющийся до радиуса $y=(3-1)^3=8$ при $x=3$.

Объем тела вращения:

$V = \pi \int_1^3 ((x-1)^3)^2 dx = \pi \int_1^3 (x-1)^6 dx$

Для вычисления интеграла можно сделать замену $u = x-1$, тогда $du=dx$. Новые пределы интегрирования: при $x=1$, $u=0$; при $x=3$, $u=2$.

$V = \pi \int_0^2 u^6 du$

Находим первообразную и вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{u^7}{7} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{2^7}{7} - \frac{0^7}{7} \right) = \pi \cdot \frac{128}{7} = \frac{128\pi}{7}$

Ответ: $\frac{128\pi}{7}$.

3) Тело получено вращением вокруг оси Oх криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = 4\sin(2x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=\frac{\pi}{4}$. Тело вращения имеет форму, похожую на чашу, расширяющуюся от точки $(0,0)$ до радиуса $y=4$ при $x=\frac{\pi}{4}$.

Объем тела вращения:

$V = \pi \int_0^{\pi/4} (4\sin(2x))^2 dx = 16\pi \int_0^{\pi/4} \sin^2(2x) dx$

Используем формулу понижения степени: $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. Для $\alpha=2x$ получаем:

$\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}$

Подставляем в интеграл:

$V = 16\pi \int_0^{\pi/4} \frac{1 - \cos(4x)}{2} dx = 8\pi \int_0^{\pi/4} (1 - \cos(4x)) dx$

Находим первообразную:

$V = 8\pi \left[ x - \frac{1}{4}\sin(4x) \right]_0^{\pi/4}$

Вычисляем определенный интеграл:

$V = 8\pi \left( \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}) \right) - \left( 0 - \frac{1}{4}\sin(0) \right) \right)$

$V = 8\pi \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin(\pi) \right) = 8\pi \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi^2$

Ответ: $2\pi^2$.

4) Тело получено вращением вокруг оси Oх криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{\sin x}$ и осью $Ox$ на отрезке $[0, \pi]$. Тело вращения симметрично относительно плоскости, перпендикулярной оси $Ox$ и проходящей через точку $x=\frac{\pi}{2}$, и имеет форму, похожую на лимон или мяч для регби.

Объем тела вращения:

$V = \pi \int_0^{\pi} (\sqrt{\sin x})^2 dx = \pi \int_0^{\pi} \sin x dx$

Находим первообразную:

$V = \pi [-\cos x]_0^{\pi}$

Вычисляем определенный интеграл:

$V = \pi (-\cos(\pi) - (-\cos(0)))$

$V = \pi (-(-1) - (-1)) = \pi (1+1) = 2\pi$

Ответ: $2\pi$.