Номер 1.130, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.130. Изобразите тело, полученное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, и вычислите его объем:

1) $y = \cos x$, $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$;

2) $y = 2x - x^2$, $0 \le x \le 2$;

3) $y = -\frac{x}{2} + 2$, $0 < x < 4$;

4) $y = \sqrt{x-2}$, $2 \le x \le 11$.

1) $y = \cos x, -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$

Криволинейная трапеция ограничена графиком функции $y = \cos x$ и осью Ox на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. При вращении этой фигуры вокруг оси Ox образуется тело, по форме напоминающее лимон или мяч для регби (веретенообразное тело).

Объем тела вращения вычисляется по формуле: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В данном случае $f(x) = \cos x$, $a = -\frac{\pi}{2}$, $b = \frac{\pi}{2}$.

$V = \pi \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\cos x)^2 dx$

Для вычисления интеграла используем формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$V = \pi \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2x)}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 + \cos(2x)) dx = \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{-\pi/2}^{\pi/2}$

$V = \frac{\pi}{2} \left( \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi) \right) - \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(-\pi) \right) \right) = \frac{\pi}{2} \left( (\frac{\pi}{2} + 0) - (-\frac{\pi}{2} + 0) \right) = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \cdot \pi = \frac{\pi^2}{2}$

Ответ: $V = \frac{\pi^2}{2}$

2) $y = 2x - x^2, 0 \le x \le 2$

График функции $y = 2x - x^2$ на отрезке $[0, 2]$ представляет собой арку параболы, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=2$. Вращение этой фигуры вокруг оси Ox создает тело, похожее на эллипсоид вращения (сплюснутый сфероид).

Объем вычисляется по формуле $V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx$.

$V = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^2)^2 dx = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - 4x^3 + x^4) dx$

$V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - \frac{4x^4}{4} + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - x^4 + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2}$

$V = \pi \left( \left( \frac{4 \cdot 2^3}{3} - 2^4 + \frac{2^5}{5} \right) - 0 \right) = \pi \left( \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5} \right)$

$V = \pi \left( \frac{32 \cdot 5}{15} - \frac{16 \cdot 15}{15} + \frac{32 \cdot 3}{15} \right) = \pi \left( \frac{160 - 240 + 96}{15} \right) = \frac{16\pi}{15}$

Ответ: $V = \frac{16\pi}{15}$

3) $y = -\frac{x}{2} + 2, 0 \le x \le 4$

График функции $y = -\frac{x}{2} + 2$ на отрезке $[0, 4]$ — это отрезок прямой, который соединяет точки $(0, 2)$ и $(4, 0)$. Таким образом, криволинейная трапеция в этом случае является прямоугольным треугольником. При вращении этого треугольника вокруг оси Ox образуется прямой круговой конус. Вершина конуса находится в точке $(4, 0)$, а его основание лежит в плоскости $x=0$. Радиус основания $r=2$, высота $h=4$.

Объем тела вращения вычислим с помощью интеграла:

$V = \pi \int_{0}^{4} \left(-\frac{x}{2} + 2\right)^2 dx = \pi \int_{0}^{4} \left(\frac{x^2}{4} - 2x + 4\right) dx$

$V = \pi \left[ \frac{x^3}{4 \cdot 3} - \frac{2x^2}{2} + 4x \right]_{0}^{4} = \pi \left[ \frac{x^3}{12} - x^2 + 4x \right]_{0}^{4}$

$V = \pi \left( \left( \frac{4^3}{12} - 4^2 + 4 \cdot 4 \right) - 0 \right) = \pi \left( \frac{64}{12} - 16 + 16 \right) = \frac{64\pi}{12} = \frac{16\pi}{3}$

Ответ: $V = \frac{16\pi}{3}$

4) $y = \sqrt{x-2}, 2 \le x \le 11$

График функции $y = \sqrt{x-2}$ — это верхняя ветвь параболы $y^2 = x-2$, смещенной на 2 единицы вправо. При вращении криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, осью Ox и прямыми $x=2$, $x=11$, вокруг оси Ox, образуется тело, называемое параболоидом вращения.

Вычислим его объем:

$V = \pi \int_{2}^{11} (\sqrt{x-2})^2 dx = \pi \int_{2}^{11} (x-2) dx$

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{2}^{11} = \pi \left( \left( \frac{11^2}{2} - 2 \cdot 11 \right) - \left( \frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2 \right) \right)$

$V = \pi \left( \left( \frac{121}{2} - 22 \right) - \left( 2 - 4 \right) \right) = \pi \left( \frac{121 - 44}{2} - (-2) \right) = \pi \left( \frac{77}{2} + 2 \right) = \pi \left( \frac{77 + 4}{2} \right) = \frac{81\pi}{2}$

Ответ: $V = \frac{81\pi}{2}$