Номер 1.134, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Прикладная задача

1.134. Скорость движения материального тела задана функцией $v(t) = -4t^3 + 16t$ м/с. Найдите путь, пройденный телом, за следующий промежуток времени:

1) $0 \le t \le 3$ с;

2) $1 \le t \le 3$ с.

1) Путь, пройденный телом, — это интеграл от модуля скорости по времени. Чтобы найти путь $\text{S}$, пройденный телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, используется формула: $S = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$. Дана функция скорости $v(t) = -4t^3 + 16t$ м/с.

Для того чтобы избавиться от модуля, необходимо определить интервалы знакопостоянства функции скорости. Для этого найдем моменты времени, когда скорость равна нулю: $v(t) = 0 \implies -4t^3 + 16t = 0$ $-4t(t^2 - 4) = 0$ $-4t(t - 2)(t + 2) = 0$ Корни уравнения: $t_1 = -2$, $t_2 = 0$, $t_3 = 2$.

Так как время не может быть отрицательным, нас интересуют точки $t=0$ и $t=2$. В заданном промежутке $0 \le t \le 3$ с находится точка $t=2$, в которой скорость меняет свой знак. Определим знак скорости на интервалах $[0, 2]$ и $[2, 3]$:

• На интервале $(0, 2)$, например при $t=1$, $v(1) = -4(1)^3 + 16(1) = 12 > 0$. Скорость положительна.
• На интервале $(2, 3)$, например при $t=2.5$, $v(2.5) = -4(2.5)^3 + 16(2.5) = -62.5 + 40 = -22.5 < 0$. Скорость отрицательна.

Для вычисления интегралов найдем первообразную функции $v(t)$: $F(t) = \int (-4t^3 + 16t) dt = -4 \cdot \frac{t^4}{4} + 16 \cdot \frac{t^2}{2} = -t^4 + 8t^2$. Теперь вычислим значения на границах интервалов: $F(0) = -0^4 + 8 \cdot 0^2 = 0$ $F(2) = -2^4 + 8 \cdot 2^2 = -16 + 32 = 16$ $F(3) = -3^4 + 8 \cdot 3^2 = -81 + 72 = -9$

Путь на интервале $[0, 2]$: $S_1 = \int_{0}^{2} v(t) dt = F(2) - F(0) = 16 - 0 = 16$ м. Путь на интервале $[2, 3]$: $S_2 = \int_{2}^{3} |v(t)| dt = |F(3) - F(2)| = |-9 - 16| = |-25| = 25$ м. Общий путь $S = S_1 + S_2 = 16 + 25 = 41$ м.

Ответ: 41 м.

2) Найдем путь, пройденный телом, за промежуток времени $1 \le t \le 3$ с. На этом промежутке также находится точка $t=2$, где скорость меняет знак. Поэтому путь вычисляется как сумма путей на интервалах $[1, 2]$ и $[2, 3]$. $S = \int_{1}^{3} |v(t)| dt = \int_{1}^{2} v(t) dt + \int_{2}^{3} |v(t)| dt$

Используя ранее найденную первообразную $F(t) = -t^4 + 8t^2$ и вычисленные значения $F(2)=16$ и $F(3)=-9$, найдем значение $F(1)$: $F(1) = -1^4 + 8 \cdot 1^2 = -1 + 8 = 7$.

Путь на интервале $[1, 2]$: $S_1 = \int_{1}^{2} v(t) dt = F(2) - F(1) = 16 - 7 = 9$ м. Путь на интервале $[2, 3]$: $S_2 = \int_{2}^{3} |v(t)| dt = |F(3) - F(2)| = |-9 - 16| = |-25| = 25$ м. Общий путь $S = S_1 + S_2 = 9 + 25 = 34$ м.

Ответ: 34 м.