Номер 1.132, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Прикладная задача

1.132. Автомобиль движется прямолинейно со скоростью, график которой представлен на рисунке 1.51.

1) Объясните, что означает расположение графика выше оси $\text{t}$, ниже оси $\text{t}$ и на оси $\text{t}$.

2) Найдите весь путь, пройденный автомобилем.

3) Найдите расстояние, на которое удалился автомобиль от начальной точки.

Рис. 1.51

1) На графике зависимости скорости от времени v(t): - Расположение графика выше оси t ($v > 0$) означает, что скорость автомобиля положительна, и он движется в выбранном положительном направлении. В данном случае это происходит на интервале времени от $t=0$ до $t=0.3$ ч.- Расположение графика ниже оси t ($v < 0$) означает, что скорость автомобиля отрицательна, и он движется в направлении, противоположном исходному. Это происходит на интервале времени от $t=0.3$ до $t=0.7$ ч.- Расположение графика на оси t ($v = 0$) означает, что скорость автомобиля равна нулю, то есть автомобиль неподвижен. Это происходит в моменты времени $t=0$, $t=0.3$ и $t=0.7$ ч.Ответ: Расположение графика выше оси t означает движение в положительном направлении, ниже оси t — движение в обратном направлении, а на оси t — остановку автомобиля.

2) Весь путь, пройденный автомобилем, равен сумме площадей фигур, ограниченных графиком скорости и осью времени, причем все площади берутся по модулю (т.к. путь не может быть отрицательным). График состоит из двух частей: над осью времени и под ней.1. Найдем площадь фигуры над осью t на интервале от $t=0$ до $t=0.3$. Эта фигура является трапецией, площадь которой вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$. Верхнее основание $a = 0.2 - 0.1 = 0.1$ ч, нижнее основание $b = 0.3 - 0 = 0.3$ ч, высота $h = 60$ км/ч.Путь на этом участке: $S_1 = \frac{0.1 + 0.3}{2} \cdot 60 = 0.2 \cdot 60 = 12$ км.2. Найдем площадь фигуры под осью t на интервале от $t=0.3$ до $t=0.7$. Эта фигура является треугольником, площадь которого вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$. Основание $a = 0.7 - 0.3 = 0.4$ ч, высота $h = |-20| = 20$ км/ч.Путь на этом участке: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 0.4 \cdot 20 = 4$ км.3. Общий путь равен сумме путей на всех участках: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 12 + 4 = 16$ км.Ответ: 16 км.

3) Расстояние, на которое удалился автомобиль от начальной точки, — это модуль его перемещения за все время движения. Перемещение, в отличие от пути, является векторной величиной и равно алгебраической сумме площадей под графиком скорости (площади над осью берутся со знаком «+», а под осью — со знаком «-»). Используя вычисленные в предыдущем пункте площади, найдем перемещение $\Delta x$:$\Delta x = S_1 - S_2 = 12$ км - $\text{4}$ км = $\text{8}$ км.Так как перемещение положительно, это означает, что автомобиль в итоге оказался на расстоянии 8 км от начальной точки в положительном направлении.Ответ: 8 км.