Номер 1.139, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.139. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной прямой $y = 0$ и параболой:

1) $y = 6x - x^2 - 5$;

2) $y = 2x - x^2$.

1)

Объем тела, полученного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной кривой $y = f(x)$, осью $Ox$ ($y=0$) и прямыми $x=a$, $x=b$, вычисляется по формуле дисков:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В данном случае, фигура ограничена параболой $y = 6x - x^2 - 5$ и прямой $y = 0$.

Сначала найдем пределы интегрирования $\text{a}$ и $\text{b}$. Это абсциссы точек пересечения параболы с осью $Ox$. Для этого решим уравнение $y=0$:

$6x - x^2 - 5 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого легко находятся, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни:

$x_1 = 1, \quad x_2 = 5$

Таким образом, пределы интегрирования $a = 1$ и $b = 5$.

Теперь вычислим объем, подставив функцию и пределы в формулу:

$V = \pi \int_{1}^{5} (6x - x^2 - 5)^2 dx$

Раскроем квадрат подынтегральной функции:

$(6x - x^2 - 5)^2 = (-(x^2 - 6x + 5))^2 = (x^2 - 6x + 5)^2$

$= (x^2)^2 + (-6x)^2 + 5^2 + 2(x^2)(-6x) + 2(x^2)(5) + 2(-6x)(5)$

$= x^4 + 36x^2 + 25 - 12x^3 + 10x^2 - 60x$

$= x^4 - 12x^3 + 46x^2 - 60x + 25$

Теперь найдем первообразную и вычислим определенный интеграл:

$\int (x^4 - 12x^3 + 46x^2 - 60x + 25) dx = \frac{x^5}{5} - 12\frac{x^4}{4} + 46\frac{x^3}{3} - 60\frac{x^2}{2} + 25x$

$= \frac{x^5}{5} - 3x^4 + \frac{46}{3}x^3 - 30x^2 + 25x$

Вычислим значение в пределах от 1 до 5:

$\left[ \frac{x^5}{5} - 3x^4 + \frac{46}{3}x^3 - 30x^2 + 25x \right]_{1}^{5}$

$= \left( \frac{5^5}{5} - 3 \cdot 5^4 + \frac{46}{3} \cdot 5^3 - 30 \cdot 5^2 + 25 \cdot 5 \right) - \left( \frac{1^5}{5} - 3 \cdot 1^4 + \frac{46}{3} \cdot 1^3 - 30 \cdot 1^2 + 25 \cdot 1 \right)$

$= \left( 625 - 1875 + \frac{5750}{3} - 750 + 125 \right) - \left( \frac{1}{5} - 3 + \frac{46}{3} - 30 + 25 \right)$

$= \left( -1875 + \frac{5750}{3} \right) - \left( \frac{1}{5} + \frac{46}{3} - 8 \right)$

$= \left( \frac{-5625 + 5750}{3} \right) - \left( \frac{3 + 230 - 120}{15} \right)$

$= \frac{125}{3} - \frac{113}{15} = \frac{125 \cdot 5}{15} - \frac{113}{15} = \frac{625 - 113}{15} = \frac{512}{15}$

Объем тела вращения равен $V = \pi \cdot \frac{512}{15}$.

Ответ: $\frac{512\pi}{15}$.

2)

Фигура ограничена параболой $y = 2x - x^2$ и прямой $y=0$.

Найдем пределы интегрирования, решив уравнение $y=0$:

$2x - x^2 = 0$

$x(2 - x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0, \quad x_2 = 2$.

Пределы интегрирования: $a = 0, b = 2$.

Вычислим объем тела вращения:

$V = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^2)^2 dx$

Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$(2x - x^2)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(x^2) + (x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4$

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{0}^{2} (4x^2 - 4x^3 + x^4) dx = \left[ 4\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2}$

$= \left[ \frac{4}{3}x^3 - x^4 + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2}$

Подставим пределы интегрирования:

$= \left( \frac{4}{3} \cdot 2^3 - 2^4 + \frac{2^5}{5} \right) - \left( \frac{4}{3} \cdot 0^3 - 0^4 + \frac{0^5}{5} \right)$

$= \left( \frac{4 \cdot 8}{3} - 16 + \frac{32}{5} \right) - 0$

$= \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5}$

Приведем к общему знаменателю 15:

$= \frac{32 \cdot 5}{15} - \frac{16 \cdot 15}{15} + \frac{32 \cdot 3}{15} = \frac{160 - 240 + 96}{15} = \frac{16}{15}$

Объем тела вращения равен $V = \pi \cdot \frac{16}{15}$.

Ответ: $\frac{16\pi}{15}$.