Номер 1.145, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.145. С помощью определенного интеграла вычислите объем:

1) цилиндра;

2) конуса, если радиус основания равен $\text{R}$, а высота равна $\text{H}$.

1) цилиндра;

Для вычисления объема цилиндра с помощью определенного интеграла воспользуемся методом сечений. Этот метод заключается в том, что объем тела равен интегралу от площади его поперечного сечения.

Расположим цилиндр так, чтобы его ось симметрии совпадала с осью $Ox$, а одно из оснований находилось в плоскости $x=0$. Тогда высота цилиндра $\text{H}$ будет отложена вдоль оси $Ox$ от $\text{0}$ до $\text{H}$.

Радиус основания цилиндра постоянен и равен $\text{R}$. Любое поперечное сечение цилиндра, перпендикулярное оси $Ox$ на расстоянии $\text{x}$ от начала координат (где $0 \le x \le H$), представляет собой круг радиуса $\text{R}$.

Площадь этого сечения $S(x)$ также постоянна и вычисляется по формуле площади круга:

$S(x) = \pi R^2$

Объем цилиндра $\text{V}$ находится путем интегрирования площади поперечного сечения $S(x)$ по всей высоте от $x=0$ до $x=H$:

$V = \int_{0}^{H} S(x) dx = \int_{0}^{H} \pi R^2 dx$

Поскольку $\pi R^2$ является постоянной величиной, ее можно вынести за знак интеграла:

$V = \pi R^2 \int_{0}^{H} dx = \pi R^2 [x]_{0}^{H} = \pi R^2 (H - 0) = \pi R^2 H$

Таким образом, мы получили известную формулу для объема цилиндра.

Ответ: $V = \pi R^2 H$.

2) конуса, если радиус основания равен $\text{R}$, а высота равна $\text{H}$.

Для вычисления объема конуса также воспользуемся методом сечений. Расположим конус так, чтобы его вершина находилась в начале координат (0,0), а его ось симметрии совпадала с осью $Ox$. В этом случае основание конуса будет находиться в плоскости, перпендикулярной оси $Ox$ при $x=H$.

Рассмотрим поперечное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$ на произвольном расстоянии $\text{x}$ от вершины ($0 \le x \le H$). Это сечение является кругом, радиус которого, обозначим его $r(x)$, изменяется в зависимости от $\text{x}$.

Для нахождения зависимости $r(x)$ от $\text{x}$ рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. В нашей системе координат мы имеем два подобных прямоугольных треугольника: один (соответствующий всему конусу) с катетами $\text{H}$ (высота) и $\text{R}$ (радиус основания), и второй (соответствующий усеченному конусу на высоте $\text{x}$) с катетами $\text{x}$ и $r(x)$. Из подобия этих треугольников следует пропорция:

$\frac{r(x)}{x} = \frac{R}{H}$

Отсюда выражаем радиус сечения $r(x)$:

$r(x) = \frac{R}{H}x$

Теперь мы можем найти площадь поперечного сечения $S(x)$ как функцию от $\text{x}$:

$S(x) = \pi [r(x)]^2 = \pi \left(\frac{R}{H}x\right)^2 = \frac{\pi R^2}{H^2}x^2$

Объем конуса $\text{V}$ вычисляется как интеграл от площади сечения $S(x)$ от вершины ($x=0$) до основания ($x=H$):

$V = \int_{0}^{H} S(x) dx = \int_{0}^{H} \frac{\pi R^2}{H^2}x^2 dx$

Вынесем постоянный множитель за знак интеграла и вычислим его:

$V = \frac{\pi R^2}{H^2} \int_{0}^{H} x^2 dx = \frac{\pi R^2}{H^2} \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{H} = \frac{\pi R^2}{H^2} \left(\frac{H^3}{3} - \frac{0^3}{3}\right)$

$V = \frac{\pi R^2}{H^2} \cdot \frac{H^3}{3} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Мы получили стандартную формулу для объема конуса.

Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.