Номер 1.149, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.149. Постройте графики кривой $y = 2x^2$ и прямой $x + y = 3$, расположенных в первой четверти координатной плоскости. Найдите точку пересечения параболы и прямой. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси $\text{Oy}$ фигуры, ограниченной данными линиями.

Построение графиков. График функции $y = 2x^2$ представляет собой параболу с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Для построения в первой четверти используем точки, например, $(0,0)$, $(1,2)$. График уравнения $x + y = 3$ (или $y = 3-x$) — это прямая линия. В первой четверти она проходит через точки $(0,3)$ и $(3,0)$.

Нахождение точки пересечения параболы и прямой. Для нахождения координат точки пересечения необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 2x^2 \\ x + y = 3 \end{cases} $

Подставим выражение для $\text{y}$ из первого уравнения во второе:

$x + 2x^2 = 3$

Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$2x^2 + x - 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}$

Получаем два значения для $\text{x}$: $x_1 = \frac{-1+5}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{-1-5}{4} = -1.5$.

По условию, нас интересует первая четверть, где $x \ge 0$, поэтому выбираем $x=1$.

Теперь найдем соответствующее значение $\text{y}$ из первого уравнения:

$y = 2x^2 = 2 \cdot 1^2 = 2$.

Таким образом, точка пересечения графиков в первой четверти — $(1,2)$.

Ответ: Точка пересечения: $(1,2)$.

Вычисление объема тела. Тело получено вращением вокруг оси $Oy$ фигуры, ограниченной линиями $y=2x^2$, $x+y=3$ и осью ординат ($x=0$). Объем такого тела вычисляется по формуле $V = \pi \int_{c}^{d} x^2(y) dy$.

Фигура состоит из двух частей, разделенных горизонтальной линией $y=2$ (y-координата точки пересечения).

1. Для нижней части ($0 \le y \le 2$) фигура ограничена параболой $y=2x^2$. Выразим $x^2$ через $\text{y}$: $x^2 = \frac{y}{2}$. Объем $V_1$, полученный вращением этой части:

$V_1 = \pi \int_{0}^{2} \frac{y}{2} dy = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{\pi}{4} (2^2 - 0^2) = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

2. Для верхней части ($2 \le y \le 3$) фигура ограничена прямой $x+y=3$. Выразим $\text{x}$ через $\text{y}$: $x = 3-y$. Тогда $x^2 = (3-y)^2$. Объем $V_2$, полученный вращением этой части:

$V_2 = \pi \int_{2}^{3} (3-y)^2 dy = \pi \int_{2}^{3} (9 - 6y + y^2) dy = \pi \left[ 9y - 3y^2 + \frac{y^3}{3} \right]_{2}^{3}$

$V_2 = \pi \left( (9 \cdot 3 - 3 \cdot 3^2 + \frac{3^3}{3}) - (9 \cdot 2 - 3 \cdot 2^2 + \frac{2^3}{3}) \right)$

$V_2 = \pi \left( (27 - 27 + 9) - (18 - 12 + \frac{8}{3}) \right) = \pi \left( 9 - (6 + \frac{8}{3}) \right) = \pi \left( 9 - \frac{26}{3} \right)$

$V_2 = \pi \left( \frac{27-26}{3} \right) = \frac{\pi}{3}$.

Полный объем тела вращения равен сумме объемов $V_1$ и $V_2$:

$V = V_1 + V_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: Объем тела равен $\frac{4\pi}{3}$.