Номер 1.151, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.151. Покажите, что прямая $x+7y=50$ касается окружности $x^2 + y^2 = 50$. Найдите координаты точки касания.

Покажите, что прямая $x+7y=50$ касается окружности $x^2 + y^2 = 50$

Чтобы доказать, что прямая является касательной к окружности, необходимо показать, что они имеют ровно одну общую точку. Для этого найдем количество решений системы уравнений, состоящей из уравнения прямой и уравнения окружности:

$ \begin{cases} x + 7y = 50 \\ x^2 + y^2 = 50 \end{cases} $

Выразим $\text{x}$ из первого уравнения:

$x = 50 - 7y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(50 - 7y)^2 + y^2 = 50$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$50^2 - 2 \cdot 50 \cdot 7y + (7y)^2 + y^2 = 50$

$2500 - 700y + 49y^2 + y^2 = 50$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном квадратном виде $ay^2+by+c=0$:

$50y^2 - 700y + 2500 - 50 = 0$

$50y^2 - 700y + 2450 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 50:

$y^2 - 14y + 49 = 0$

Прямая касается окружности, если это квадратное уравнение имеет ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант $\text{D}$ равен нулю. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 196 - 196 = 0$

Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет единственный корень. Это доказывает, что прямая и окружность имеют ровно одну общую точку, следовательно, прямая касается окружности.

Ответ: Факт касания доказан, так как система уравнений прямой и окружности имеет единственное решение (дискриминант соответствующего квадратного уравнения равен нулю).

Найдите координаты точки касания

Координаты точки касания — это и есть единственное решение найденной нами системы. Мы получили квадратное уравнение для координаты $\text{y}$:

$y^2 - 14y + 49 = 0$

Это уравнение можно свернуть в полный квадрат:

$(y - 7)^2 = 0$

Отсюда находим значение $\text{y}$:

$y - 7 = 0 \Rightarrow y = 7$

Теперь найдем соответствующее значение $\text{x}$, подставив $y=7$ в выражение $x = 50 - 7y$:

$x = 50 - 7 \cdot 7 = 50 - 49 = 1$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(1, 7)$.

Ответ: $(1, 7)$.