Номер 1.138, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.138*. Пусть $y = f(x)$ – непрерывная и монотонная на отрезке $[a; b]$ функция, удовлетворяющая неравенству $c \le f(x) \le d, x \in [a; b]$. Покажите, что объем тела, полученного вращением данной функции вокруг оси $\text{Oy}$, вычисляется по формуле

$V = \pi \int_c^d (f^{-1}(x))^2 dx$. (3)

На практике формула (3) чаще применяется в другом виде. В общем, для вычисления объемов тел, полученных вращением функции вокруг оси $\text{Ox}$, пользуются формулой

$V_x = \pi \int_a^b y^2 dx$,

а для вычисления объемов тел, полученных вращением функции вокруг оси $\text{Oy}$ – формулой

$V_y = \pi \int_c^d x^2 dy$.

Например, объем тела, полученного вращением параболы $y = x^2, x \in [0; 1]$ вокруг оси $\text{Ox}$, вычисляется следующим образом (рис. 1.52):

$V_x = \pi \int_0^1 y^2 dx = \pi \int_0^1 (x^2)^2 dx = \pi \int_0^1 x^4 dx = \frac{\pi}{5}$.

Рис. 1.52

Рис. 1.53

А для того чтобы найти объем тела, полученного вращением этой же параболы вокруг оси $\text{Oy}$, мы перепишем заданную функцию в виде $x = \sqrt{y}, y \in [0; 1]$ (выразив $\text{x}$ через $\text{y}$). Тогда объем этого тела, изображенного на рисунке 1.53, вычисляется следующим образом:

$V_y = \pi \int_0^1 x^2 dy = \pi \int_0^1 (\sqrt{y})^2 dy = \pi \int_0^1 y dy = \frac{\pi}{2}$.

Для решения задачи воспользуемся стандартной формулой для вычисления объема тела, полученного вращением функции вокруг оси $Oy$. Этот метод также известен как метод дисков (или колец). Объем $\text{V}$ вычисляется как интеграл от площади поперечного сечения (круга) по оси вращения.

1. Общая формула. Объем тела, образованного вращением вокруг оси $Oy$ кривой, заданной в виде $x = g(y)$, где $\text{y}$ изменяется от $\text{c}$ до $\text{d}$, вычисляется по формуле: $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$. В этой формуле $x = g(y)$ представляет собой радиус диска в сечении на высоте $\text{y}$, а $dy$ — его бесконечно малую толщину.

2. Применение к условию задачи. Нам дана функция $y = f(x)$, которая непрерывна и монотонна на отрезке $x \in [a; b]$. Диапазон ее значений — это отрезок $y \in [c; d]$, поскольку $c \le f(x) \le d$. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна и монотонна, для нее существует обратная функция $x = f^{-1}(y)$. Эта функция определена на отрезке $[c; d]$ и ставит в соответствие каждому значению $\text{y}$ из этого отрезка единственное значение $\text{x}$ из отрезка $[a; b]$.

3. Подстановка в формулу. Чтобы использовать формулу для объема вращения вокруг оси $Oy$, нам нужно выразить $\text{x}$ через $\text{y}$. Как раз для этого и служит обратная функция: $x = f^{-1}(y)$. Подставим это выражение для $\text{x}$ (которое в формуле объема играет роль $g(y)$) в интеграл: $V = \pi \int_{c}^{d} (f^{-1}(y))^2 dy$.

4. Смена переменной интегрирования. В определенном интеграле переменная интегрирования является "немой" (фиктивной) переменной. Это означает, что ее обозначение не влияет на значение интеграла. То есть, справедливо равенство: $\int_{c}^{d} h(y) dy = \int_{c}^{d} h(t) dt = \int_{c}^{d} h(x) dx$. Заменим в полученной нами формуле переменную интегрирования $\text{y}$ на $\text{x}$. Это не изменит ни пределов интегрирования, ни значения самого интеграла: $V = \pi \int_{c}^{d} (f^{-1}(y))^2 dy = \pi \int_{c}^{d} (f^{-1}(x))^2 dx$.

Таким образом, мы доказали, что объем тела, полученного вращением графика функции $y = f(x)$ вокруг оси $Oy$, действительно вычисляется по формуле (3), приведенной в условии.

Ответ: Показано, что объем тела вращения, полученного вращением функции $y=f(x)$ вокруг оси $Oy$, вычисляется по формуле $V = \pi \int_{c}^{d} (f^{-1}(x))^2 dx$, исходя из стандартной формулы для объема тела вращения и свойства определенного интеграла, согласно которому переменная интегрирования является фиктивной.