Номер 1.140, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.140. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью $v = 2t + 1 \text{ м/с}$. За какое время точка пройдет первые 6 м пути?

Для того чтобы найти время, за которое материальная точка пройдет определенный путь, необходимо найти зависимость пройденного пути $\text{S}$ от времени $\text{t}$. Скорость $\text{v}$ является производной от пути по времени ($v = dS/dt$). Соответственно, путь является интегралом от скорости по времени.

Зависимость скорости от времени дана в условии задачи: $v(t) = 2t + 1$ (м/с)

Пройденный путь $\text{S}$ за промежуток времени от $t_0 = 0$ до $\text{t}$ можно вычислить, взяв определенный интеграл от функции скорости: $S(t) = \int_{0}^{t} v(\tau) d\tau = \int_{0}^{t} (2\tau + 1) d\tau$

Вычислим этот интеграл: $S(t) = \left[ 2 \frac{\tau^2}{2} + \tau \right]_{0}^{t} = \left[ \tau^2 + \tau \right]_{0}^{t}$

Подставив пределы интегрирования, получим зависимость пути от времени: $S(t) = (t^2 + t) - (0^2 + 0) = t^2 + t$

Нам нужно найти время $\text{t}$, за которое точка пройдет путь $S = 6$ м. Подставим это значение в полученное уравнение: $6 = t^2 + t$

Мы получили квадратное уравнение относительно времени $\text{t}$: $t^2 + t - 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корнями уравнения являются $t_1$ и $t_2$. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -1$ $t_1 \cdot t_2 = -6$ Подбором находим корни: $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$ $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{2}$ $t_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$ $t_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, мы отбрасываем корень $t_1 = -3$ с. Физический смысл имеет только положительный корень.

Ответ: 2 с.