Номер 1.125, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Прикладная задача

1.125. Скорость движения поезда задана функцией $v(t) = \frac{t}{10} - 3$ м/с. Найдите путь, пройденный поездом за первую минуту движения, если его начальная скорость равна 45 м/с.

1.125. В условии задачи, по-видимому, есть неточность. Если бы функция скорости была $v(t) = \frac{t}{10} - 3$, то в начальный момент времени $t=0$ скорость была бы $v(0) = -3$ м/с. Однако, по условию, начальная скорость равна 45 м/с. Логично предположить, что заданная функция — это ускорение поезда, то есть $a(t) = v'(t) = \frac{t}{10} - 3$ м/с².

Для того чтобы найти функцию скорости $v(t)$, необходимо проинтегрировать функцию ускорения $a(t)$:

$v(t) = \int a(t) dt = \int (\frac{t}{10} - 3) dt = \frac{1}{10} \cdot \frac{t^2}{2} - 3t + C = \frac{t^2}{20} - 3t + C$,

где $\text{C}$ – постоянная интегрирования.

Мы можем найти значение постоянной $\text{C}$, используя начальное условие: в момент времени $t=0$ скорость $v(0) = 45$ м/с.

$v(0) = \frac{0^2}{20} - 3 \cdot 0 + C = 45$

Отсюда следует, что $C = 45$.

Таким образом, функция скорости поезда имеет вид:

$v(t) = \frac{t^2}{20} - 3t + 45$

Путь $\text{S}$, пройденный поездом, является интегралом от скорости по времени. Нам нужно найти путь, пройденный за первую минуту, то есть за интервал времени от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 60$ с (поскольку 1 минута = 60 секунд).

$S = \int_{0}^{60} v(t) dt = \int_{0}^{60} (\frac{t^2}{20} - 3t + 45) dt$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. (\frac{t^3}{20 \cdot 3} - \frac{3t^2}{2} + 45t) \right|_{0}^{60} = \left. (\frac{t^3}{60} - \frac{3}{2}t^2 + 45t) \right|_{0}^{60}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = (\frac{60^3}{60} - \frac{3}{2} \cdot 60^2 + 45 \cdot 60) - (\frac{0^3}{60} - \frac{3}{2} \cdot 0^2 + 45 \cdot 0)$

$S = (60^2 - \frac{3}{2} \cdot 3600 + 2700) - 0$

$S = 3600 - 3 \cdot 1800 + 2700$

$S = 3600 - 5400 + 2700$

$S = 6300 - 5400 = 900$ м.

Примечание: Поскольку функция скорости $v(t) = \frac{t^2}{20} - 3t + 45$ представляет собой параболу с ветвями вверх и вершиной в точке $t=30$, где $v(30) = 0$, скорость на всем промежутке $[0, 60]$ неотрицательна. Это означает, что поезд не менял направление движения, и пройденный путь равен модулю перемещения.

Ответ: 900 м.