Работа в группе, страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в паре

Какие фигуры и как должны быть расположены относительно осей абсцисс и ординат, чтобы при вращении получить цилиндр, конус, усеченный конус, шар?

Цилиндр

Чтобы получить цилиндр, нужно вращать прямоугольник вокруг оси, которая содержит одну из его сторон. Эта сторона прямоугольника будет являться осью симметрии получаемого цилиндра, а противоположная ей сторона — образующей цилиндрической поверхности.

Например, если взять прямоугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(h, 0)$, $(h, R)$ и $(0, R)$, то при его вращении вокруг оси ординат ($Oy$), на которой лежит его сторона, образуется цилиндр с высотой $\text{R}$ и радиусом основания $\text{h}$. Если же этот прямоугольник вращать вокруг оси абсцисс ($Ox$), то получится цилиндр с высотой $\text{h}$ и радиусом основания $\text{R}$. В обоих случаях вращение происходит вокруг оси, на которой лежит одна из сторон прямоугольника.

Ответ: Цилиндр получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон, которая должна лежать на оси вращения (абсцисс или ординат).

Конус

Чтобы получить конус, нужно вращать прямоугольный треугольник вокруг оси, которая содержит один из его катетов. Этот катет станет высотой конуса, а второй катет — радиусом его основания. Гипотенуза треугольника при вращении образует боковую поверхность конуса (коническую поверхность).

Например, если прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(h, 0)$ и $(h, R)$ вращать вокруг оси абсцисс ($Ox$), на которой лежит его катет длиной $\text{h}$, то получится конус высотой $\text{h}$ и радиусом основания $\text{R}$.

Ответ: Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, который должен лежать на оси вращения.

Усеченный конус

Чтобы получить усеченный конус, нужно вращать прямоугольную трапецию вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Эта сторона (высота трапеции) должна лежать на оси вращения. Основания трапеции при вращении образуют основания усеченного конуса, а другая боковая (наклонная) сторона — его боковую поверхность.

Например, если взять прямоугольную трапецию с вершинами в точках $(0, r_1)$, $(h, r_2)$, $(h, 0)$ и $(0, 0)$ и вращать ее вокруг оси ординат ($Oy$), то получится тело вращения, которое не является усеченным конусом. Правильная фигура для вращения вокруг оси $Oy$ будет иметь вершины, например, $(0,0), (r_1,0), (r_2,h), (0,h)$. При вращении этой трапеции вокруг оси $Oy$ (на которой лежит ее высота) получится усеченный конус высотой $\text{h}$ и радиусами оснований $r_1$ и $r_2$.

Ответ: Усеченный конус получается при вращении прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям, которая должна лежать на оси вращения.

Шар

Чтобы получить шар, нужно вращать полукруг (или круг) вокруг его диаметра. Этот диаметр должен лежать на оси вращения. Центр полукруга будет центром получаемого шара, а радиус полукруга — радиусом шара.

Например, если взять плоскую фигуру — полукруг, ограниченный дугой окружности $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ и отрезком оси абсцисс от $-R$ до $\text{R}$, и вращать ее вокруг оси абсцисс ($Ox$), которая содержит ее диаметр, то получится шар радиуса $\text{R}$ с центром в начале координат.

Ответ: Шар получается при вращении полукруга (или круга) вокруг его диаметра, который должен лежать на оси вращения.