Номер 1.120, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.120. Ученик бежит со скоростью, график зависимости которой от времени показан на рисунке 1.46. Найдите путь, который пробежал ученик.

Рис. 1.46

Путь, который пробежал ученик, численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени $v(t)$. Чтобы найти общую площадь, разобьем фигуру под графиком на четыре более простые геометрические фигуры на четырех временных интервалах.

1. На интервале времени от $t=0$ с до $t=5$ с фигура является прямоугольным треугольником. Его основание равно $\text{5}$ с, а высота — $\text{6}$ м/с. Путь на этом участке $S_1$ равен площади этого треугольника: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ с} \cdot 6 \text{ м/с} = 15 \text{ м}$.

2. На интервале времени от $t=5$ с до $t=10$ с фигура является трапецией. Ее основания равны скоростям в начале и конце интервала ($\text{6}$ м/с и $\text{8}$ м/с), а высота равна длительности интервала ($\text{5}$ с). Путь на этом участке $S_2$ равен площади этой трапеции: $S_2 = \frac{\text{основание}_1 + \text{основание}_2}{2} \cdot \text{высота} = \frac{6 \text{ м/с} + 8 \text{ м/с}}{2} \cdot 5 \text{ с} = \frac{14}{2} \cdot 5 \text{ м} = 35 \text{ м}$.

3. На интервале времени от $t=10$ с до $t=15$ с скорость постоянна и равна $\text{8}$ м/с. Фигура является прямоугольником с длиной $\text{5}$ с и шириной $\text{8}$ м/с. Путь на этом участке $S_3$ равен площади этого прямоугольника: $S_3 = \text{длина} \cdot \text{ширина} = 5 \text{ с} \cdot 8 \text{ м/с} = 40 \text{ м}$.

4. На интервале времени от $t=15$ с до $t=20$ с фигура является прямоугольным треугольником. Его основание равно $\text{5}$ с, а высота — $\text{8}$ м/с. Путь на этом участке $S_4$ равен площади этого треугольника: $S_4 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ с} \cdot 8 \text{ м/с} = 20 \text{ м}$.

Общий путь, который пробежал ученик, равен сумме путей, пройденных на каждом из четырех участков: $S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 15 \text{ м} + 35 \text{ м} + 40 \text{ м} + 20 \text{ м} = 110 \text{ м}$.

Ответ: 110 м.