Творческая работа, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Творческая работа

Найдите площадь части здания «Москва», ограниченной параболой (рис. 1.36).

Примечание. По количеству этажей, охваченных параболой, подсчитаем ее высоту и расстояние между крайними точками дуги. Вершина параболы расположена на пятом этаже. Параболой охвачено 17 этажей здания. Высота каждого этажа равна примерно 3 м. Расстояние между крайними точками дуги параболы, расположенными на верхнем этаже, приблизительно равно 44 м. В результате получаем график параболы (рис. 1.37).

Рис. 1.36

Рис. 1.37

Для нахождения площади закрашенной фигуры, ограниченной параболой, воспользуемся методом, основанным на интегральном исчислении. Сначала определим уравнение параболы, а затем вычислим площадь.

1. Определение уравнения параболы

Из рисунка 1.37 видно, что вершина параболы находится в начале координат (0,0). Следовательно, её уравнение имеет вид $y = ax^2$. Парабола проходит через точки с координатами $(-22, 51)$ и $(22, 51)$. Подставим координаты одной из этих точек в уравнение, чтобы найти коэффициент $\text{a}$.

$51 = a \cdot (22)^2$

$51 = a \cdot 484$

$a = \frac{51}{484}$

Таким образом, уравнение параболы: $y = \frac{51}{484}x^2$.

2. Вычисление площади

Площадь закрашенной фигуры можно найти как разность между площадью прямоугольника со сторонами 44 м и 51 м и площадью криволинейной трапеции, расположенной под параболой.

Площадь прямоугольника $S_{прямоуг.}$ равна:

$S_{прямоуг.} = (22 - (-22)) \cdot 51 = 44 \cdot 51 = 2244$ м².

Площадь под параболой $S_{под\;параболой}$ вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S_{под\;параболой} = \int_{-22}^{22} \frac{51}{484}x^2 \,dx$

Так как подынтегральная функция $y = \frac{51}{484}x^2$ является чётной, интеграл можно упростить:

$S_{под\;параболой} = 2 \int_{0}^{22} \frac{51}{484}x^2 \,dx = 2 \cdot \frac{51}{484} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{22} = \frac{102}{484} \cdot \frac{22^3}{3} = \frac{34}{484} \cdot 22^3$

Учитывая, что $484 = 22^2$, получаем:

$S_{под\;параболой} = \frac{34}{22^2} \cdot 22^3 = 34 \cdot 22 = 748$ м².

Теперь находим искомую площадь $\text{S}$ как разность площадей:

$S = S_{прямоуг.} - S_{под\;параболой} = 2244 - 748 = 1496$ м².

Альтернативный способ (с использованием формулы Архимеда)

Площадь сегмента параболы, ограниченного параболой и прямой, составляет $2/3$ от площади описанного вокруг него прямоугольника. В нашем случае закрашенная фигура и есть такой сегмент.

Прямоугольник, описывающий этот сегмент, имеет ширину $22 - (-22) = 44$ м и высоту $51$ м. Его площадь равна $S_{прямоуг.} = 44 \cdot 51 = 2244$ м².

Искомая площадь $\text{S}$ равна:

$S = \frac{2}{3} \cdot S_{прямоуг.} = \frac{2}{3} \cdot 2244 = 2 \cdot 748 = 1496$ м².

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 1496 м².