Номер 1.112, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.112*. Найдите площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

1) $4y = x^2$, $y^2 = 4x$;

2) $y = \cos^5 x \sin 2x$, $y = 0$, $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $4y = x^2$ и $y^2 = 4x$, сначала найдем точки пересечения этих кривых. Выразим $\text{y}$ из первого уравнения: $y = \frac{x^2}{4}$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x$

$\frac{x^4}{16} = 4x$

$x^4 - 64x = 0$

$x(x^3 - 64) = 0$

Отсюда получаем два значения для $\text{x}$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Найдем соответствующие значения $\text{y}$: при $x=0$ получаем $y = \frac{0^2}{4} = 0$, точка пересечения $(0, 0)$; при $x=4$ получаем $y = \frac{4^2}{4} = 4$, точка пересечения $(4, 4)$.

Фигура расположена в первой координатной четверти. Из уравнения $y^2 = 4x$ следует, что $y = 2\sqrt{x}$ (так как $y \ge 0$). В промежутке $[0, 4]$ кривая $y = 2\sqrt{x}$ лежит выше кривой $y = \frac{x^2}{4}$, так как, например, при $x=1$ имеем $2\sqrt{1} = 2$, а $\frac{1^2}{4} = 0.25$, и $2 > 0.25$.

Площадь фигуры $\text{S}$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по $\text{x}$ от $\text{0}$ до $\text{4}$:

$S = \int_0^4 \left(2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}\right) dx = \int_0^4 \left(2x^{1/2} - \frac{1}{4}x^2\right) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = \left[ \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_0^4$

$S = \left(\frac{4}{3}(4)^{3/2} - \frac{4^3}{12}\right) - \left(\frac{4}{3}(0)^{3/2} - \frac{0^3}{12}\right) = \frac{4}{3}(8) - \frac{64}{12} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $\frac{16}{3}$.

2) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos^5 x \sin 2x$, $y = 0$ и прямыми $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Сначала проверим знак функции $y(x)$ на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$.

На интервале $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ значения $\cos x \ge 0$ и $\sin x \ge 0$. Используя формулу двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, преобразуем функцию:

$y = \cos^5 x (2 \sin x \cos x) = 2 \cos^6 x \sin x$.

Поскольку $\cos^6 x \ge 0$ и $\sin x \ge 0$ на данном отрезке, функция $y(x) \ge 0$. Следовательно, искомая площадь $\text{S}$ равна интегралу от функции $y(x)$ в пределах от $\text{0}$ до $\frac{\pi}{2}$:

$S = \int_0^{\pi/2} 2 \cos^6 x \sin x \, dx$.

Для вычисления интеграла используем метод замены переменной. Пусть $u = \cos x$, тогда $du = -\sin x \, dx$, или $\sin x \, dx = -du$.

Найдем новые пределы интегрирования: если $x=0$, то $u = \cos(0) = 1$; если $x=\frac{\pi}{2}$, то $u = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Подставим в интеграл:

$S = \int_1^0 2 u^6 (-du) = -2 \int_1^0 u^6 \, du = 2 \int_0^1 u^6 \, du$.

Теперь вычислим полученный интеграл:

$S = 2 \left[ \frac{u^7}{7} \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1^7}{7} - \frac{0^7}{7} \right) = 2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$.