Номер 1.108, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.108. Вычислите интеграл, используя свойства модуля:

1) $\int_{0}^{3}|x-2|dx$;

2) $\int_{-3}^{1}|x|dx$;

3) $\int_{0}^{4}|2x-6|dx$;

4) $\int_{0}^{2}|2x-1|dx$.

1) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{3} |x-2|dx $ необходимо раскрыть модуль. Выражение под знаком модуля, $x-2$, равно нулю при $x=2$. Эта точка принадлежит отрезку интегрирования $[0, 3]$.

Следовательно, мы можем разбить интеграл на два:

$ \int_{0}^{3} |x-2|dx = \int_{0}^{2} |x-2|dx + \int_{2}^{3} |x-2|dx $

На интервале $[0, 2]$ выражение $x-2 \le 0$, поэтому $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.

На интервале $[2, 3]$ выражение $x-2 \ge 0$, поэтому $|x-2| = x-2$.

Подставляем полученные выражения в интегралы:

$ \int_{0}^{2} (2-x)dx + \int_{2}^{3} (x-2)dx = \left(2x - \frac{x^2}{2}\right) \bigg|_{0}^{2} + \left(\frac{x^2}{2} - 2x\right) \bigg|_{2}^{3} $

Вычисляем каждый интеграл:

$ \left((2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) - (2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2})\right) + \left((\frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2)\right) = (4-2) - 0 + (\frac{9}{2} - 6) - (2 - 4) = 2 + (4.5 - 6) - (-2) = 2 - 1.5 + 2 = 2.5 $

Ответ: $2.5$

2) Рассмотрим интеграл $ \int_{-3}^{1} |x|dx $. Выражение под знаком модуля, $\text{x}$, равно нулю при $x=0$. Эта точка принадлежит отрезку интегрирования $[-3, 1]$.

Разбиваем интеграл на два:

$ \int_{-3}^{1} |x|dx = \int_{-3}^{0} |x|dx + \int_{0}^{1} |x|dx $

На интервале $[-3, 0]$ выражение $x \le 0$, поэтому $|x| = -x$.

На интервале $[0, 1]$ выражение $x \ge 0$, поэтому $|x| = x$.

$ \int_{-3}^{0} (-x)dx + \int_{0}^{1} x dx = \left(-\frac{x^2}{2}\right) \bigg|_{-3}^{0} + \left(\frac{x^2}{2}\right) \bigg|_{0}^{1} $

$ \left(-\frac{0^2}{2} - (-\frac{(-3)^2}{2})\right) + \left(\frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right) = (0 - (-\frac{9}{2})) + (\frac{1}{2} - 0) = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5 $

Ответ: $\text{5}$

3) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{4} |2x-6|dx $. Выражение $2x-6$ равно нулю при $2x=6$, то есть $x=3$. Точка $x=3$ находится внутри отрезка интегрирования $[0, 4]$.

Разбиваем интеграл:

$ \int_{0}^{4} |2x-6|dx = \int_{0}^{3} |2x-6|dx + \int_{3}^{4} |2x-6|dx $

На интервале $[0, 3]$ выражение $2x-6 \le 0$, поэтому $|2x-6| = -(2x-6) = 6-2x$.

На интервале $[3, 4]$ выражение $2x-6 \ge 0$, поэтому $|2x-6| = 2x-6$.

$ \int_{0}^{3} (6-2x)dx + \int_{3}^{4} (2x-6)dx = \left(6x - x^2\right) \bigg|_{0}^{3} + \left(x^2 - 6x\right) \bigg|_{3}^{4} $

$ \left((6 \cdot 3 - 3^2) - (6 \cdot 0 - 0^2)\right) + \left((4^2 - 6 \cdot 4) - (3^2 - 6 \cdot 3)\right) = (18 - 9) - 0 + (16 - 24) - (9 - 18) = 9 + (-8) - (-9) = 9 - 8 + 9 = 10 $

Ответ: $10$

4) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{2} |2x-1|dx $. Выражение $2x-1$ равно нулю при $2x=1$, то есть $x=1/2$. Точка $x=1/2$ находится внутри отрезка интегрирования $[0, 2]$.

Разбиваем интеграл:

$ \int_{0}^{2} |2x-1|dx = \int_{0}^{1/2} |2x-1|dx + \int_{1/2}^{2} |2x-1|dx $

На интервале $[0, 1/2]$ выражение $2x-1 \le 0$, поэтому $|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$.

На интервале $[1/2, 2]$ выражение $2x-1 \ge 0$, поэтому $|2x-1| = 2x-1$.

$ \int_{0}^{1/2} (1-2x)dx + \int_{1/2}^{2} (2x-1)dx = \left(x - x^2\right) \bigg|_{0}^{1/2} + \left(x^2 - x\right) \bigg|_{1/2}^{2} $

$ \left((\frac{1}{2} - (\frac{1}{2})^2) - (0 - 0^2)\right) + \left((2^2 - 2) - ((\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2})\right) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (4 - 2) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + 2 - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + 2 = \frac{1}{2} + 2 = 2.5 $

Ответ: $2.5$