Номер 1.115, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.115. Чему равно значение интеграла $\int_{-a}^{a} f(x)dx$, если функция $f(x)$ – нечетная? Сделайте вывод.

Для вычисления значения интеграла $ \int_{-a}^{a} f(x)dx $ воспользуемся определением нечетной функции и свойствами определенного интеграла.

Функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $\text{x}$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Используя свойство аддитивности определенного интеграла, разобьем интеграл по симметричному промежутку $[-a, a]$ на два интеграла: $$ \int_{-a}^{a} f(x)dx = \int_{-a}^{0} f(x)dx + \int_{0}^{a} f(x)dx $$

Рассмотрим первый интеграл $ \int_{-a}^{0} f(x)dx $. Выполним замену переменной: пусть $t = -x$. Тогда $x = -t$, и дифференциал $dx = -dt$. Также необходимо изменить пределы интегрирования: - нижний предел: если $x = -a$, то $t = -(-a) = a$;- верхний предел: если $x = 0$, то $t = -0 = 0$.

После замены интеграл примет вид: $$ \int_{-a}^{0} f(x)dx = \int_{a}^{0} f(-t)(-dt) $$

Вынесем знак минус за знак интеграла и воспользуемся свойством $ \int_{b}^{a} g(t)dt = -\int_{a}^{b} g(t)dt $, чтобы поменять пределы интегрирования местами: $$ \int_{a}^{0} f(-t)(-dt) = - \int_{a}^{0} f(-t)dt = \int_{0}^{a} f(-t)dt $$

Теперь используем свойство нечетной функции $f(-t) = -f(t)$: $$ \int_{0}^{a} f(-t)dt = \int_{0}^{a} -f(t)dt = - \int_{0}^{a} f(t)dt $$

Так как переменная интегрирования является "немой" (фиктивной), то $ \int_{0}^{a} f(t)dt $ то же самое, что и $ \int_{0}^{a} f(x)dx $. Таким образом, мы получили: $$ \int_{-a}^{0} f(x)dx = - \int_{0}^{a} f(x)dx $$

Подставим это выражение в исходное разложение интеграла: $$ \int_{-a}^{a} f(x)dx = \left( - \int_{0}^{a} f(x)dx \right) + \int_{0}^{a} f(x)dx = 0 $$

Геометрически это означает, что для нечетной функции, график которой симметричен относительно начала координат, площади криволинейных трапеций на промежутках $[-a, 0]$ и $[0, a]$ равны по модулю, но противоположны по знаку. Их сумма равна нулю.

Вывод: Определенный интеграл от любой нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку интегрирования равен нулю.

Ответ: $\text{0}$.