Номер 1.111, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.111. Найдите значения А, В и С, при которых выполняется следующее равенство:

1) $\int_{-1}^{1}(Ax^2 + Bx + C) dx = 0;$

2) $\int_{-1}^{1}(Ax^2 + Bx + C) \cdot xdx = 0.$

1) Рассмотрим первое равенство: $\int_{-1}^{1} (Ax^2 + Bx + C) dx = 0$.

Для нахождения значений коэффициентов вычислим определенный интеграл в левой части. Воспользуемся свойствами интегралов по симметричному промежутку. Разобьем интеграл на сумму двух:

$\int_{-1}^{1} (Ax^2 + Bx + C) dx = \int_{-1}^{1} (Ax^2 + C) dx + \int_{-1}^{1} Bx dx$.

Функция $g(x) = Bx$ является нечетной, так как $g(-x) = B(-x) = -Bx = -g(x)$. Интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку от $-1$ до $\text{1}$ равен нулю, поэтому $\int_{-1}^{1} Bx dx = 0$.

Функция $h(x) = Ax^2 + C$ является четной, так как $h(-x) = A(-x)^2 + C = Ax^2 + C = h(x)$. Интеграл от четной функции по симметричному промежутку $[-a, a]$ равен $2\int_{0}^{a} h(x) dx$. Следовательно:

$\int_{-1}^{1} (Ax^2 + C) dx = 2\int_{0}^{1} (Ax^2 + C) dx = 2 \left[ A\frac{x^3}{3} + Cx \right]_{0}^{1} = 2 \left( (A\frac{1^3}{3} + C \cdot 1) - (A\frac{0^3}{3} + C \cdot 0) \right) = 2(\frac{A}{3} + C)$.

Таким образом, исходное равенство принимает вид:

$2(\frac{A}{3} + C) = 0$,

что эквивалентно $\frac{A}{3} + C = 0$, или $C = -\frac{A}{3}$.

Это соотношение должно выполняться для коэффициентов $\text{A}$ и $\text{C}$. Коэффициент $\text{B}$ может быть любым действительным числом, так как он не влияет на результат. Коэффициент $\text{A}$ также может быть любым действительным числом.

Ответ: Равенство выполняется при любых действительных $\text{A}$ и $\text{B}$, и $C = -\frac{A}{3}$.

2) Рассмотрим второе равенство: $\int_{-1}^{1} (Ax^2 + Bx + C) \cdot x dx = 0$.

Сначала преобразуем подынтегральное выражение, раскрыв скобки: $Ax^3 + Bx^2 + Cx$.

Вычислим интеграл, используя свойства четных и нечетных функций на симметричном промежутке:

$\int_{-1}^{1} (Ax^3 + Bx^2 + Cx) dx = \int_{-1}^{1} (Ax^3 + Cx) dx + \int_{-1}^{1} Bx^2 dx$.

Функция $g(x) = Ax^3 + Cx$ является нечетной, так как $g(-x) = A(-x)^3 + C(-x) = -Ax^3 - Cx = -(Ax^3 + Cx) = -g(x)$. Поэтому ее интеграл по симметричному промежутку $[-1, 1]$ равен нулю: $\int_{-1}^{1} (Ax^3 + Cx) dx = 0$.

Функция $h(x) = Bx^2$ является четной, так как $h(-x) = B(-x)^2 = Bx^2 = h(x)$. Ее интеграл по симметричному промежутку равен:

$\int_{-1}^{1} Bx^2 dx = 2\int_{0}^{1} Bx^2 dx = 2 \left[ B\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( B\frac{1^3}{3} - 0 \right) = \frac{2B}{3}$.

Таким образом, исходное равенство принимает вид:

$\frac{2B}{3} = 0$,

откуда следует, что $B = 0$.

Это условие должно выполняться для коэффициента $\text{B}$. Коэффициенты $\text{A}$ и $\text{C}$ могут быть любыми действительными числами, так как соответствующие им члены в интеграле обратились в ноль.

Ответ: Равенство выполняется при $B = 0$ и любых действительных $\text{A}$ и $\text{C}$.